|
|||||
De priemfactorontbinding is eenduidig. | |||||
Stel dat er wél getallen zijn die
twee verschillende priemfactorontbindingen hebben. Noem dan het kleinste van al die getallen N. Dan geldt dus N = p1 p2 p3 p4 p5... = q1 q2 q3 q4 q5 ... Daarbij zijn de p's en q´s priemgetallen. Een priemgetal uit het p-rijtje komt niet voor in het q-rijtje, want als dat wel zo zou zijn zouden we beide kanten door dat priemgetal kunnen delen en hadden we een ander getal gevonden dat kleiner is dan N en ook verschillende priemfactorontbindingen heeft. Herrangschik nu alle priemgetallen zodat p1
het kleinste priemgetal is (in ieder geval dus kleiner dan alle q's,
en eventueel nog gelijk aan enkele andere p's) |
|||||
|
|||||
r is de rest bij het delen. Maar dan geldt (beide kanten van N door p1 delen):: |
|||||
|
|||||
De laatste term aan de
rechterkant is een geheel getal k Daarvoor geldt p1k = r q2 q3 q4 q5... De rechterkant is kleiner dan N omdat r kleiner is dan q1 Dus is de linkerkant ook kleiner dan N Dus het getal p1k is een getal dat kleiner is dan N maar dat toch op twee verschillende manieren ontbonden kan worden. Dat is in strijd met het feit dat N het kleinste getal was waarvoor dat gold! Dus bestaat er niet zo'n kleinste getal, dus bestaat er helemaal niet zo'n getal. q.e.d. 't Is wel een gedoe met al die pkrqd 's. |
|||||
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |