Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek I, propositie 4.

Als twee driehoeken twee zijden plus de hoek ertussen gelijk hebben dan zijn ze congruent.

"Congruent" betekent dat ze alle zijden en hoeken gelijk hebben. Deze propositie noteren we meestal als (ZHZ).

Neem twee driehoeken ABC en DEF waarvan AB = DE
en BC = EF en ∠ABC = ∠DEF

Leg driehoek ABC nu op DEF neer zodat A op D komt en zijde AB op zijde DE

Dan valt B samen met E omdat AB = DE
Omdat de hoeken gelijk zijn valt dan ook BC samen met EF
Omdat BC = EF valt C samen met F

Dus BC valt samen met EF en is er aan gelijk (L₄)

De hele driehoek ABC valt samen met de hele driehoek DEF dus ze zijn congruent. (L₄)

Muggenzifterij:

Euclides gebruikte het begrip "congruent" niet. Hij stelde eenvoudig dat de overeenkomstige zijden en hoeken gelijk zijn.
Het is ook niet helemaal duidelijk of hij bedoelde dat je letterlijk de ene hele driehoek op de andere moet leggen. Als de driehoeken bijvoorbeeld elkaars spiegelbeeld zouden zijn, zijn de overeenkomstige delen ook gelijk en zijn ze dus congruent, maar kun je ze niet op elkaar "schuiven" zonder de driehoeken uit het vlak te tillen. Je kunt wel de overeenkomstige delen apart verplaatsen.