© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een slak op een touw.
(gewoon een leuk raadsel)
         

Op het linkereinde van een rubber touw van 10 meter lang zit een slak.
Hij begint naar rechts te kruipen.
De slak kruipt 10 cm naar rechts.
Daarna wordt het rubberen touw overal evenveel uitgerekt zodat het 1 meter langer wordt.
De slak kruipt weer 10 cm naar rechts,
en daarna wordt het touw op dezelfde manier weer 1 meter langer gemaakt.
En zo alsmaar door.....

Zal de slak ooit het eind van het touw bereiken?

         
Noem  f de fractie van het touw die de slak achter zich heeft. Dan verandert f door het uitrekken van het touw niet, immers er komt relatief evenveel extra touw achter de slak als vóór de slak. Maar door het kruipen van de 10 cm iedere keer wordt f wél groter. Als fn de fractie na de nde keer uitrekken is, dan is de rij  fn een continu toenemende rij. Laten we er een recursieformule voor opstellen.

Stel dat de slak direct na de nde keer uitrekken op fractie fn vanaf het begin van het touw zit, en dat het touw lengte Ln heeft. Dan is de absolute afstand van de slak tot het begin gelijk aan  fn • Ln. Nu kruipt de slak 10 cm verder. Dan wordt de absolute afstand  fn • Ln + 10, en de fractie dus  fn+1 = ( fn • Ln + 10) / Ln = fn + 10/Ln
Omdat het touw elke keer 100 cm uitrekt en in het begin 1000 cm lang is, is  Ln = 1000 + 100n.
Dat geeft de recursieformule:
         

         
Dat geeft vanaf f0 de volgende rij;
 

 
Het gaat erom of deze rij uiteindelijk het getal 1 zal passeren.

Nou kunnen we vrij eenvoudig bewijzen dat deze rij breuken divergeert.

Dat gaat als volgt:
  Neem eerst  S = 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + ...   deze som gaat naar oneindig , immers:
S = 1 + 1/2 + {1/3 + 1/4} + {1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8} + {1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16} + .....
Hier staan tussen de accolades allemaal termen die samen groter of gelijk aan 1/2 zijn.
Bijvoorbeeld  {1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8} > {1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8} = 1/2

(1/10)•S = (1/10) + (1/20) + (1/30) + ... + (1/100) + (1/110) + (1/120) + ....  gaat dus ook naar oneindig.
Het rode deel is eindig, dus ook het groene deel gaat naar oneindig.

Dus fn wordt uiteindelijk oneindig groot, dus bereikt zeker het getal 1.
En precies eenzelfde redenering geldt voor alle touwen en voor de uitrekking willekeurig groot!!!!!
■        
         
WAUW!!

Zet een slak op een stuk rubber touw van 500 km, laat hem steeds 1 mm lopen, en rek het touw daarna 100 km uit.
Hij komt nóg aan het einde! 
Wauw!!!!!

duurt trouwens dan wél even......
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)