© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Snijpunten bij cirkels.  
Deze les gaan we bekijken hoe je snijpunten van cirkels met andere grafieken kunt berekenen. Dat gaat ietsje anders dan normaal een snijpunt van twee grafieken, en dat komt omdat je van een cirkel niet een vergelijking van de vorm  y = ...... hebt.
Een cirkelvergelijking is geen functie!!!

Hoe moet het wel?
We gaan twee gevallen bekijken (die trouwens eigenlijk hetzelfde zijn)
In beide gevallen is het toverwoord:
   

Substitutie !!
   
1.  Het snijpunt van een cirkel met een rechte lijn.
Het snijpunt van een cirkel met een rechte lijn is vrij makkelijk te vinden.
Eerst maak je van de vergelijking van de lijn  y = ...... of  x  = .......  (meestal staat dat er trouwens al).
Daarna vervang je  (Substitutie) de y of x van de cirkelvergelijking door wat daar op die stippeltje staat.
   
Voorbeeld 1.  
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijn  y = 2x - 3  met de cirkel  (x + 3)2 + (y - 1)2 = 100

Oplossing:
y = 2x - 3 substitueren geeft  (x + 3)2 + (2x - 3 - 1)2 = 100
⇒ x2 + 6x + 9 + 4x2 - 16x + 16 - 100 = 0
⇒ 5x2 - 10x - 75 = 0
⇒ x2 - 2x - 15 = 0
⇒ (x - 5)(x + 3) = 0
⇒ x = 5  ∨  x = -3
Dat geeft de snijpunten  (5, 7) en  (-3, -9).
   
Voorbeeld 2.
Berken de coördinaten van de snijpunten van de lijn  2x + 5y =  44 met de cirkel   x2 + y2 + 6x - 4y = 48

Oplossing:
2x + 5y = 44
5y = 44 - 2x
y = 8,8 - 0,4x
Invullen in de cirkelvergelijking:
x2 + (8,8 - 0,4x)2 + 6x - 4(8,8 - 0,4x) = 48
x2 + 77,44 - 7,04x + 0,16x2 + 6x - 35,2 + 1,6x = 48
1,16x2 + 0,56x - 5,76 = 0
x = (-0,56 ± √27,04)/2,32 = (-0,56 ± 5,2)/2,32
x = 2  ∨  x = -72/29
Dat geeft de snijpunten  (2, 8) en  (-72/29, 284/29)
   
Kan er nog iets misgaan?
Meestal als dat gevraagd wordt kan er inderdaad iets misgaan.....

Het zou namelijk kunnen dat de kwadratische vergelijking die je krijgt geen oplossingen heeft, omdat de discriminant ervan kleiner dan nul is.
Maar dat is maargoed ook!!
Een lijn en een cirkel hoeven immers niet altijd snijpunten te hebben?
Als de kwadratische vergelijking die je krijgt geen oplossingen heeft dan betekent dat simpelweg dat er geen snijpunten zijn!
We zullen daar in een latere les nog uitgebreid aandacht aan besteden.
   
2. Het snijpunt van een cirkel met de grafiek van een andere functie.
   
Nou ja, dat gaat precies hetzelfde:  

Substitutie !!
   
Vul de vergelijking van die andere functie in bij de cirkelvergelijking.
Dan hou je  iets over dat je hopelijk op kunt lossen.
Vaak worden die vergelijkingen dan te moeilijk, maar dan kun je natuurlijk altijs nog de optie "intersect" van je GR te hulp roepen.
   
Voorbeeld 3.  
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van y = 2√x met de cirkel  x2 + y2 - 12x - 4y + 15 = 0

Oplossing:
y = 2√x invullen in de cirkelvergelijking:
x2 + (2√x)2 - 12x - 8√x + 15 = 0
x2 + 4x - 12x - 8√x + 15 = 0
Te moeilijk om algebraïsch op te lossen......
In de GR:
Y1 = X2 + 4X - 12X - 8√X + 15
calc - zero  geeft  X = 9  ∨  X = 1

De snijpunten zijn  (1, 2)  en  (9, 6)
   
Snijpunten van cirkels met cirkels.
   
Een cirkel met een cirkel snijden dat kan niet zomaar met behulp van substitutie (zoals in de vorige les)
Dat komt omdat een cirkelvergelijking nou eenmaal niet te schrijven is als  y = ......  (je zou een vergelijking met  +/-  krijgen en bovendien zou die vergelijking nogal vervelende wortels bevatten).

Maar als je de vergelijkingen van de beide cirkels onder elkaar schrijft en ze dan van elkaar aftrekt, dan vallen de stukken met x2 en y2  weg!
Dat geeft een lineaire vergelijking en die kun je wél schrijven als y = .....
Als je die dan invult in één van beide cirkels, dan kun je toch een oplossing vinden.
Dat geeft het volgende werkschema:
   
 
Snijpunten van twee cirkels:
1.  schrijf de vergelijkingen zonder haakjes.
2.  trek ze van elkaar af.
3.  schrijf het resultaat als  y = ...  of  x = ...
4.  substitueer dat in één van beide cirkels.
 
   
Voorbeeld:  
Bereken de coördinaten van de snijpunten van   (x - 3)2 + (y - 1)2 = 25  en   x2 + y2 + 14x + 8y = 35

Oplossing
Werk de haakjes weg en schrijf ze onder elkaar:
x2 + y2 + 14x + 8y = 35
x2 + y2  -  6x  - 2y = 15

Van elkaar aftrekken geeft  20x + 10y = 20  ofwel  y = 2 - 2x
Substitueren in bijv. de eerste cirkel:  (x - 3)2 + (2 - 2x - 1)2 = 25
⇒ x2 - 6x + 9 + 1 - 4x + 4x2 = 25
⇒ 5x2 - 10x - 15 = 0
⇒ x2 - 2x - 3 = 0
⇒ (x + 1)(x - 3) = 0
⇒ x = -1  ∨  x = 3
Dat geeft vervolgens met y = 2 - 2x de snijpunten  (-1, 4)  en (3, -4).
   
En omdat het snijden van een cirkel met een cirkel uiteindelijk steeds een kwadratische vergelijking geeft, geldt hier ook weer dat het aantal oplossingen afhankelijk is van de discriminant van die vergelijking:
   

   
 
 
  OPGAVEN
       
1. Bereken algebraïsch de coördinaten van de volgende snijpunten:
       
  a. de cirkel  (x - 2)2 + (y - 5)2 = 10  met de lijn  y = 20 - 3x
       
  b. de cirkel  x2 + y2 + 4x - 6y = -9  met de lijn  y = 2x + 9
       
  c. de cirkel  x2 + 4x = 28 - y2 - 4y  met de lijn  y = -4x + 14
       
2. Welk punten van de lijn   y = 4x + 2  hebben afstand  √340  tot het punt  (2,12)?
       
3. De lijn 2y - x = 5  en de cirkel  x2 + y2 - 12x - 2y = -12  snijden elkaar niet.
       
  a. Toon dat algebraïsch aan  
       
  b. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kleinste afstand van de lijn tot de cirkel.
       
4. Een cirkel heeft middelpunt (-3, 4)  en straal 4
De grafiek van f(x) = 10 - x2  snijdt deze cirkel in de punten P en Q
Berken de afstand PQ in twee decimalen nauwkeurig.
       
5. Bereken algebraïsch de coördinaten van de volgende snijpunten:  
       
  a. De cirkels  (x - 5)2 + (y - 11)2 = 40  en   x2 - 20x + y2 - 2y + 46 = 0
       
  b. De cirkels  x2 + y2 - 4x - 8y  = 110  en  x2 + y2 + 8x = 10
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)