© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Speltheorie:  inleiding.
       
Speltheorie is een tak van de wiskunde die situaties beschrijft waarin een aantal partijen beslissingen moeten nemen. De speltheorie beschrijft wat de beste strategische acties daarbij zijn.
Je kunt daarbij denken aan een simpel bordspel met twee spelers tegenover elkaar, maar ook aan economische of bestuurskundige beslissingen.

Een 'spel' is eigenlijk niets anders dan een interactie tussen verschillende spelers die individueel beslissingen moeten nemen. Er zijn twee soorten spelles:
       
  1.  Coöperatieve spellen
    Hierbij mogen de spelers afspraken maken over mogelijke samenwerking. Ze kunnen bijvoorbeeld een gezamenlijke tactiek bespreken of afspraken maken over de manier waarop een uiteindelijke winst verdeeld gaat worden.
       
  2.  Niet-coöperatieve spellen (ook wel competitieve spellen).
       
       
We bekijken eerst de coöperatieve spellen, en in een later hoofdstuk zullen de niet-coöperatieve spellen aan bod komen.
       
Coöperatieve spellen.
       
Laten we beginnen met een voorbeeldje:

Voorbeeld 1.

Hiernaast zie je een complete serie van 16 Nederlandse postzegels.
Het is de serie  "Juliana en face" uitgegeven in 1949.

Guus heeft de serie bijna compleet, hij mist alleen de zegels van 75 cent en 30 cent. Zijn serie van 14 zegels heeft een cataloguswaarde van  €350,-

Jolinde heeft de twee zegels die Guus mist, en die zijn volgens de catalogus samen  €60,- waard.

Als je de hele serie compleet hebt, dan heeft die een cataloguswaarde van  €475,-
       
We beschouwen Guus en Jolinde nu als twee spelers.
We definiëren een Coalitie (C) nu als  een deelverzameling van deze spelers.
Er zijn dus 4 mogelijke "coalities":  {niemand}, {Guus}, {Jolinde}, {Guus, Jolinde}
W  noemen we de waarde van het spel. Dat is de opbrengst die de coalitie levert als ze samenwerken.
In dit geval zou dat de volgende tabel geven:
       
Coalitie (C) {niemand} {Guus} {Jolinde} {Guus, Jolinde}
Waarde W(C) 0 350 60 475
       
Hier staat de wiskundige definitie van een coöperatief spel:
       
Coöperatief Spel:

Een coöperatief spel is een paar (N, W) waarbij N een verzameling spelers is en W(C) een functie is die aan elke deelverzameling C van N een waarde W(C) toekent.
We nemen aan dat de waarde van de lege verzameling W(∅) gelijk is aan 0.
       
Voorbeeld 2.

Na de gemeenteraadsverkiezingen is er in een gemeente de volgende zetelverdeling ontstaan:
  1:  PvdA/Groenlinks: 19 zetels
2:  CDA:  6 zetels
3:  PVV:  5 zetels
4:  VVD:  16 zetels
       
Als een coalitie van partijen de meerderheid van de zetels heeft geven we dat waarde 1, en als ze niet de meerderheid hebben geven we dat waarde 0.
Dan ziet het spel er zó uit (de partijen noemen we 1,2,3 ,4):
       
coalitie {geen} {1} {2} {3} {4} {12} {13} {14} {23} {24} {123} {124} {234} {134} {1234}
W 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
       
Voorbeeld 3.  Een heel ander "Spel".
 
Een bedrijf heeft 4 vestigingen A, B, C en D met elk hun eigen vestigingsleider. De hoofdbestuurder zit in een eigen hoofdkantoor H.
Elke maandagochtend is er ruimte voor directieoverleg en dan nodigt de hoofdbestuurder een aantal van de vestigingsleiders uit om in het hoofdkantoor te komen vergaderen.
De uitgenodigde vestigingsleider noemen we een Coalitie.
De waarde van de vergadering is het totaal aantal kilometers dat de vestigingsleiders moeten afleggen.
Hiernaast zie je de afstanden tussen de verschillende vestigingen en het hoofdkantoor.

       
Dan ziet een spel er zó uit:
       
coalitie geen A B C D AB AC AD BC BD ABC ABD ACD BCD ABCD
W 0 6 8 9 12 14 15 18 17 20 23 26 27 29 35
       
Maar het kan natuurlijk ook zo zijn dat de Hoofdbestuurder aangeeft wie er bij de vergadering moeten zijn en dat ze dan de vergaderplaats kiezen die het minst aantal kilometers oplevert.

Bedenk zelf even hoe het spel er dan uitziet.
Hieronder zie je wat je zou moeten vinden.
       
De bovenste rij is als hierboven.
De tweede rij wordt dan:  0 - 6 - 8 - 9 - 12 - 10 - 15 - 15 - 17 - 13 - 23 - 27 - 24 - 29 
       
       
OPGAVEN
       
1. Drie bouwvakkers (B1, B2 en B3) zijn alle drie ZZP-er.
Ze hebben voor de komende week alle drie een taak op zich genomen (T1, T2 en T3).
B1 heeft een taak waar zij 6 uur over doet.
B2 heeft een taak waar zij 5 uur over doet.
B3 heeft een taak waar zij 6 uur over doet.

Maar ze zouden natuurlijk ook kunnen gaan samenwerken. De ene bouwvakker is nou eenmaal beter in metselwerk, en de ander in timmerwerk en weer een ander in stucwerk.
Hieronder zie je hoe lang de bouwvakkers over elkaars taak zouden doen.
       
 
  T1 T2 T3
B1 6 4 3
B2 3 5 2
B3 2 6 6
       
  Zo kost het bouwvakker 3 bijvoorbeeld 2 uur om de taak van bouwvakker 1 uit te voeren.
Ze waarderen een samenwerkingsverband met het totaal aantal werkuren dat het zou kosten om alle taken van dat samenwerkingsverband uit te voeren..
Hoe ziet in dit geval een "Spel" eruit?
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)