|
|||||
| Het vinden van een evenwicht. | |||||
| Nou, mooi dat we dankzij von Neumann weten dat er altijd zo'n Nash-evenwicht is, maar een erg praktische vraag blijft dan natuurlijk: | |||||
|
|||||
| Laten we een spel bekijken met de volgende matrix: | |||||
|
|
|||||
| S1 heeft
de keuze uit twee strategieën en S2 heeft de keuze uit
3 strategieën. Stel dat S1 strategie 1 kiest met kans p Dan kiest hij strategie 2 dus met kans 1 - p Bij elke kolom van S2 heeft hij een verwachtingswaarde voor zijn winst. |
|||||
| Bij kolom 1 is zijn
verwachte winst 4p + 3(1 - p)
dus W = p + 3 Bij kolom 2 is zijn verwachte winst 5p + 2(1 - p) dus W = 3p + 2 Bij kolom 3 is zijn verwachte winst -2p + 6(1 - p) dus W = -8p + 6 |
|||||
| Laten we die drie lijnen tekenen: | |||||
|
|
|||||
| We zoeken nu de
hoogste minimale winst voor S1. Dat is het hoogste punt in deze figuur waar alle lijnen boven liggen. Dit punt dus: |
|||||
|
|
|||||
| Het is het snijpunt
van W = 3p + 2 en W = 6 - 8p Reken maar uit: dat is p = 4/11 en dan is W = 34/11 34/11 is dus de waarde van het spel. Voor p < 4/11 ligt de groene lijn eronder en zou S1 dus minder winst maken als S2 kolom 2 kiest Voor p > 4/11 ligt de rode lijn eronder en zou S1 dus minder winst maken als S2 kolom 3 kiest. En dankzij von Neumann weten we nu dat dat ook de waarde voor S2 is !!!! Stel dat S2 zijn strategieën achtereenvolgens met kans p, q en 1 - p - q kiest. De bovenste rij geeft het verwachte verlies: 4p + 5q - 2(1 - p - q) = 34/11 De tweede rij geeft het verwachte verlies: 3p + 2q + 6(1 - p - q) = 34/11 Haakjes weg en alles vermenigvuldigen met 11: 66p + 77q = 59 33p + 44q = 32 Bovenste min twee keer de onderste: -11q = -5 dus q = 5/11 en dan is p = 4/11 S2 kiest zijn strategieën dus met kansen 4/11 en 5/11 en 2/11 en heeft laagste maximale verlies van 34/11. |
|||||
|
Waarom werkt dit niet altijd? Dit werkte eigenlijk alleen omdat S1 maar de keuze had uit één getal, namelijk de kans op strategie 1 (kans p) . Daarmee lag de kans op strategie 2 meteen vast (kans 1 - p) dus konden we een figuur tekenen in een plat vlak. Er was alleen een p-as en een W-as nodig. Als beide spelers keuzen uit meer dan 2 strategieën hebben (dus als de spelmatrix A minstens 3 ´ 3 is, dan kunnen we niet zo'n eenvoudige tekening maken. In dat geval hebben we te maken met een lineair-programmeer-probleem met meer dan 2 variabelen. Dat kunnen we oplossen met de simplex methode. Dat lijkt me iets voor een volgende les..... |
|||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
