© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Stellingen over lijnen en vlakken.
       
Uit gaande van de vijf axioma's voor stereometrie gaan we deze les een aantal stellingen bewijzen. Hier zijn de vijf axioma's (A1 tm A5)  nog een keer:
       
Axioma 1. Door elke twee punten gaat precies één lijn.
Axioma 2. Door elke drie punten gaat precies één vlak.
Axioma 3. Een lijn die twee punten met een vlak gemeen heeft, ligt geheel in dat vlak.
Axioma 4. Als in een vlak een lijn l en een punt P buiten l gegeven zijn,
dan ligt er in dit vlak precies één lijn die door P gaat en l niet snijdt.
Axioma 5. Twee vlakken die een punt gemeen hebben, hebben nog een tweede punt gemeen.
       
Stelling 1:

"Als twee vlakken drie gezamenlijke punten bevatten, die niet op één lijn liggen, dan vallen die vlakken geheel samen".
       
  Bewijs:
Stel dat de vlakken  α en β beiden de punten A, B en C bevatten.
A en C liggen in α  ⇒ AC ligt in α   (A3).
B en C liggen  in α  ⇒ BC ligt in α   (A3).
A en C liggen in β  ⇒ AC ligt in β   (A3).
B en C liggen  in β  ⇒ BC ligt in β   (A3).
Als P een punt in α is, dan kun je in α door P een lijn tekenen die AC en BC in Q en R snijdt  (A4).
Q en R liggen ook in β  want AC en BC liggen in β.
Daaruit volgt dat P ook in β  ligt  (A3).
Dus elk punt van α ligt ook in β.
Op precies dezelfde manier kun je bewijzen dat een willekeurig punt van β  ook in α ligt.
Dus α en β  vallen geheel samen.
       
  Gevolg 1:   "Door een lijn l en een punt P buiten l is precies één vlak bepaald".
Kies twee punten A en B op l. Dan is er een vlak α door A, B en P  (A2).
Dan ligt l in α (A3) dus is α een vlak door l en P.
Als er een tweede vlak β mogelijk is door l en P dan liggen de punten  P, A en B ook in β. 
Dus is β samenvallend met α (S1).

Gevolg 2:  "Door twee snijdende lijnen is precies één vlak bepaald".
Het bewijs gaat op precies dezelfde manier als dat van gevolg 1 hierboven.
       
Stelling 2:
"Door een punt P dat niet op lijn l ligt, gaat precies één lijn die evenwijdig is aan l "
     
  Bewijs:
Door een punt P en een lijn l die niet door P gaat is precies één vlak α bepaald (gevolg 1 hierboven).
In dat vlak kun je door P precies één lijn tekenen die evenwijdig aan l  is  (A4).
.........
Maar waarom kan er niet nog een ánder vlak zijn met daarin een lijn evenwijdig aan l?
 
       
Definitie tussendoor:
Twee lijnen die niet in één vlak liggen heten  kruisende  lijnen.
       
Dat zulke lijnen bestaan volgt eenvoudig uit stelling 2:
  Kies een vlak α en een lijn l en een punt A beiden in α.
Kies een punt B buiten α.
Dan gaat er geen vlak door A, B en l want als dat wel zo was, dan zou dat vlak α moeten zijn (gevolg 1) maar dat kan niet, want B ligt niet in α. Dus zijn AB en l kruisende lijnen.
       
Daarmee zijn er voor de ligging van twee lijnen precies vier mogelijkheden:
• Ze hebben minstens twee punten gezamenlijk.  In dat geval zijn de lijnen samenvallend.
• Ze hebben precies één punt gezamenlijk.  In dat geval zijn de lijnen snijdend.
• Ze hebben geen punten gezamenlijk. In dat geval zijn de lijnen evenwijdig  (als ze in één vlak liggen)  of kruisend (als ze niet in één vlak liggen).
       
Nou, laten we dan ook maar meteen de ligging van een lijn ten opzichte van een vlak bekijken en daarna de ligging van twee vlakken. 
       
De ligging van een lijn ten opzichte van een vlak:
• Ze hebben minstens twee punten gezamenlijk.  In dat geval ligt de lijn geheel in het vlak  (A3).
• Ze hebben precies één punt gezamenlijk.  In dat geval snijdt de lijn het vlak.  (dit is geen stelling maar een definitie van snijden)
• Ze hebben geen punten gezamenlijk. In dat geval is de lijn  evenwijdig aan het vlak  (ook een definitie)
       

De ligging van twee vlakken:
• Ze hebben drie punten gezamenlijk die niet op één lijn liggen. In dat geval zijn de vlakken samenvallend  (Stelling 1)
• Als ze twee punten gezamenlijk hebben, dan hebben de de hele lijn door die twee punten gezamenlijk (A3).
Als ze niet samenvallen dan noemen we de vlakken snijdend en die lijn heet dan de snijlijn.
• Als ze geen punten gezamenlijk hebben dan zijn ze evenwijdig  (definitie).
       

opmerking:  twee vlakken kunnen dus niet precies twee punten of precies één punt gezamenlijk hebben!
Als ze immers één punt P gezamenlijk hebben, dan hebben ze ook een tweede punt Q gezamenlijk  (A5) en dus hebben ze dan de hele lijn PQ gezamenlijk.
       

Stelling 3:

"Een lijn die evenwijdig is aan een gegeven lijn in een gegeven vlak, en niet in dat vlak ligt, is evenwijdig aan dat vlak.
       
  Bewijs:  
  Neem lijn m in vlak α  en lijn l // m niet in α.
Omdat l // m kunnen we een vlak β door l en m aanbrengen.

Stel nu dat l wél een punt P met α gezamenlijk heeft. Dan ligt P in β  want l ligt in β. Dus ligt P op de snijlijn m van α en β.
Maar dat kan niet want l heeft geen punt met m gezamenlijk.
Dus kan l geen punt met α gezamenlijk hebben.
Dus is  l // α.
       

En op de omgekeerde manier kun je bewijzen dat er altijd lijnen bestaan die evenwijdig aan een vlak zijn:
Breng door een lijn m in α een vlak β aan dat α snijdt. Kies vervolgens in β een lijn evenwijdig aan m.

Stelling 4:

"Als lijn l evenwijdig is aan vlak α, dan zal ieder vlak door l dat α snijdt een snijlijn opleveren die evenwijdig is aan l".
     
  Bewijs:
  l // α dus l  heeft geen punt gezamenlijk met α.
Dus heeft l ook geen punt gezamenlijk met m.
Omdat l en m beiden in β liggen moet dus wel gelden  l // m.
       

Stelling 5:

"Als twee evenwijdige vlakken door een derde vlak worden gesneden, dan zijn de snijlijnen evenwijdig".
     
  Bewijs:

Stel dat vlak V het ene vlak snijdt volgens snijlijn m en het andere vlak volgens snijlijn l.
Omdat  α // β  hebben α en β geen punt gezamenlijk.
Dus hebben l en m ook geen punt gezamenlijk.
Omdat l en m beiden in V liggen moeten ze dus wel evenwijdig zijn.
 

Stelling 6:

"Als lijn l in één van twee snijdende vlakken evenwijdig is aan lijn m in het andere vlak, en als de snijlijn s van die twee vlakken niet samenvalt met l of m,  dan is  s // l // m".
     
  Bewijs:
Omdat l // m is volgens stelling 3 ook  l // β.
Volgens stelling 4 is dan  s // l.
Op dezelfde manier kun je bewijzen dat  s // m.
       

Stelling 7:

"Twee vlakken  zijn evenwijdig als twee snijdende lijnen in het ene vlak evenwijdig zijn aan twee snijdende lijnen in het andere vlak".
       
  Bewijs:
Stel dat α en β een snijlijn s hebben.
Omdat  a // c  is volgens stelling 6 dan  a // s.
Omdat b // d is volgens stelling 6 dan  b // s.
Door het snijpunt van a en b gaan dan twee lijnen die beiden evenwijdig aan s zijn, en dat is volgens stelling 2 onmogelijk.
Dus kunnen α en β geen snijlijn hebben dus is  α // β.
 

  OPGAVEN
 
Bewijs de volgende stellingen:
       
1. Alle lijnen die door een punt P gaan, en die een andere lijn die niet door P gaat snijden, liggen in één vlak.
       
2. Als een lijn l evenwijdig is aan een vlak α, dan kan door ieder punt van α precies één lijn in α getrokken worden die evenwijdig is aan l.
       
3. Alle lijnen die evenwijdig zijn aan een gegeven lijn en ook aan een andere gegeven lijn, liggen in één vlak.
(tip: Gebruik voor het bewijs vraagstuk 2 hierboven).
       
4. Een lijn die evenwijdig is aan  twee snijdende vlakken, is evenwijdig aan de snijlijn van die vlakken
       
5. Als één van twee evenwijdige lijnen een vlak snijdt, dan snijdt de andere dat vlak ook.
       
6. Als twee vlakken α en β evenwijdig zijn, en in α ligt lijn l, dan kan door ieder punt van β precies één lijn evenwijdig aan l getrokken worden.
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)