tovervierkant

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

TOVERVIERKANTEN

Een tovervierkant is een vierkant van n bij n met daarin alle getallen van 1 t/m n.
Die getallen zijn zó neergezet dat de som van elke rij en elke kolom en elke diagonaal hetzelfde is!!!!

Hiernaast zie je de beroemdste (van 3 bij 3).
In alle rijen en kolommen en diagonalen is de som 15.

Hadden we die som van tevoren kunnen weten?

Jazeker!

Als je alle getallen 1 t.m. 9 bij elkaar optelt krijg je 45

Bekijk bijvoorbeeld de rijen.
Daar zijn er drie van, en elke geeft dezelfde som, maar samen zij die drie gelijk aan 45.
Dus moet elke wel 15 zijn.

Voor een n × n vierkant geeft dat het volgende:
tel alle getallen 1 t.m. n² op. Dat geeft ¹/₂ • n² (n² + 1)
er zijn n rijen dus elke rij heeft som ¹/₂ • n (n² + 1)

een n × n vierkant heeft som ¹/₂n(n²+ 1)

Welk getal staat in het midden?

Begin maar weer met het 3 × 3 vierkant.

a + f = 15 - X
b + e = 15 - X
c + d = 15 - X
g + h = 15 - X
Tel dit allemaal op en je krijgt a + b + c + d + e + f + g + h = 60 - 4X
Maar alle getallen samen zijn 45, dus a + b + c + d + e + f + g + h = 45 - X
45 - X = 60 - 4X
3X = 15 dus X = 5

En de andere getallen? Kunnen we die ook beredeneren?

Jazeker.
We hebben nu 8 vergelijkingen met 8 onbekenden. Kijk maar:

a + g + b = 15    ... (1)
c + 5 + d = 15    ... (2)
e + h + f = 15    ... (3)
a + c + e = 15     ... (4)
g + 5+ h =15     ... (5)
b + d + f = 15     ... (6)
a + 5 + f = 15     ... (7)
b + 5 + e = 15     ... (8)

(2) geeft c = 10 - d
(5) geeft g = 10 - h
(7) geeft a = 10 - f
(8) geeft b = 10 - e

invullen in (1)(3)(4)(6);
10 - f + 10 - h + 10 - e = 15   ofwel    e + f + h = 15    ...(9)
e + h + f = 15                                                                  ...(10)
10 - f + 10 - d + e = 15 ofwel f + d - e = 5                   ...(11)
10 - e + d + f = 15    ofwel    f + d - e = 5                       ...(12)

De vergelijkingen zijn helaas gelijk, dus we houden er maar 2 over:

e + f + h = 15    ....(13)
f + d - e = 5        ....(14)

de tweede geeft bijv. e = f + d - 5
invullen in de eerste: 2f + d + h = 20
Daarmee zijn er 28 mogelijkheden voor f, d en h;

f	d	h
2	9	7
2	7	9
3	8	6
3	6	8
3	9	5
3	5	9
4	5	7
4	7	5
4	9	3
4	3	9
5	4	6
5	6	4
5	3	7
5	7	3
5	2	8
5	8	2
5	9	1
5	1	9
6	5	3
6	3	5
6	7	1
6	1	7
7	1	5
7	5	1
7	2	4
7	4	2
8	3	1
8	1	3

Laten we de tabel aanvullen met de andere getallen:

f	d	h	e = f + d - 5
2	9	7	6
2	7	9	4
3	8	6	6
3	6	8	4
3	9	5	7
3	5	9	3
4	5	7	4
4	7	5	6
4	9	3	8
4	3	9	2
5	4	6	4
5	6	4	6
5	3	7	3
5	7	3	7
5	2	8	2
5	8	2	8
5	9	1	9
5	1	9	1
6	5	3	6
6	3	5	4
6	7	1	8
6	1	7	2
7	1	5	3
7	5	1	7
7	2	4	4
7	4	2	6
8	3	1	6
8	1	3	4

Alle roden vallen af omdat er een getal, dubbel in voorkomt.
Met de overgebleven getallen voegen we b = 10 - e toe:

f	d	h	e	b
2	9	7	6	4
2	7	9	4	6
3	6	8	4	6
3	9	5	7	3
4	7	5	6	4
4	9	3	8	2
4	3	9	2	8
6	3	5	4	6
6	7	1	8	2
6	1	7	2	8
7	1	5	3	7
7	4	2	6	4
8	3	1	6	4
8	1	3	4	6

OK, de roden vallen weer af, en we voegen c = 10 - d en en a = 10 - f toe en ook maar g = 10 - h

f	d	h	e	b	c	a	g
2	9	7	6	4	1	8	3
2	7	9	4	6	3	8	1
4	9	3	8	2	1	6	7
4	3	9	2	8	7	6	1
6	7	1	8	2	3	4	9
6	1	7	2	8	9	4	3
8	3	1	6	4	7	2	9
8	1	3	4	6	9	2	7

Daarmee hebben we de volgende 8 tovervierkanten gevonden:

8	3	4
1	5	9
6	7	2

8	1	6
3	5	7
4	9	2

6	7	2
1	5	9
8	3	4

6	1	8
7	5	3
2	9	4

4	9	2
3	5	7
8	1	6

4	3	8
9	5	1
2	7	6

2	9	4
7	5	3
6	1	8

2	7	6
9	5	1
4	3	8

Maar kijk: als je nummer 1 een kwartslag met de klok mee draait krijg je nummer 4
En als je hem een kwartslag tegen de klok in draait krijg je nummer 5
En als je hem een halve slag draait krijg je nummer 8

En met nummer 2 een beetje verdraaien krijg je op die manier de nummers 6, 3 en 7.

Dus eigenlijk blijven alleen de nummers 1 en 2 over: immers als je stippen zet in plaats van getallen zie je de oriëntatie niet.

Dat geeft deze twee vierkanten (je kunt ze vrij draaien):

Maar als je goed kijkt, dan zie je vast wel dat ook deze twee eigenlijk hetzelfde zijn: als je ze in de diagonaal van linksboven naar rechtsonder spiegelt gaan ze in elkaar over.
Er is maar één conclusie mogelijk:

Eigenlijk is er maar één tovervierkant van 3 × 3