© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Snelle Vereenvoudigingen.
       
Sommige tweede graads-differentiaalvergelijkingen zien er moeilijk en stoer uit, maar zijn toch heel eenvoudig te vereenvoudigen tot eerste-graads vergelijkingen.  Twee gevallen daarvan kun je snel herkennen doordat óf de y óf de x er niet expliciet in voorkomen. Die zullen we in deze les bekijken.
       
1.  y  komt er niet expliciet in voor.
       
De differentiaalvergelijking ziet er dan uit als  f(x, y', y'') = 0.
Stel in die gevallen  y' = p  dan is y''  = p'.
Maar dan is de differentiaalvergelijking  f(x, p, p' ) = 0  van de  eerste orde!
Stel dat de oplossing daarvan van de vorm  F(x, p) = 0 is, dan is dat hetzelfde als  F(x, y') = 0  en dat is wéér een vergelijking van de eerste orde.
Zo kun je een tweede orde vergelijking zonder y terugbrengen tot twee eerste-orde vergelijkingen. 

Voorbeeld 1.  Los op:     xy'' =  y' + x2ex
  Zoals je ziet komt y er niet in  voor.
y' = p  geeft   xp' = p + x2ex   ofwel   p' = 1/x • p  + xex
Dat is een lineaire vergelijking in p.
De oplossing daarvan is  p = xex + cx    (ga dat zelf maar na)

Dat geeft dus  y'  = xex + cx   en dat is alweer een eerste orde vergelijking.
De oplossing daarvan is  y =  xex - ex + c1x2 + c2
       
2.  x komt er niet expliciet in voor.
       
De differentiaalvergelijking ziet er dan uit als  f(y, y', y'') = 0
Stel weer  y' = p  dan is  y'' = dp(y)/dx =  dp(y)/dy • dy/dx =  p' • p 
Dat geeft een differentiaalvergelijking  f(y, p, p')  die van de eerste orde is  (denk erom dat p' differentiëren naar y is!).
Stel dat de oplossing daarvan van de vorm  F(y, p) = 0 is, dan is dat hetzelfde als  F(y, y') = 0 en dat is wéér een vergelijking van de eerste orde die op te lossen is.
Je ziet, dit geval lijkt nogal verdacht veel op het vorige!

Voorbeeld 2.   Los op:    y'' • y = (y')2
  Zoals je ziet komt x er niet in voor.
y' =  p  geeft   y'' = p' • p  en dus wordt de vergelijking  p' • p • y  = p2  
Dat  geeft twee oplossingen:
  • p = 0   ⇒  y' = 0  ⇒  y = c
  • p' y = p  ⇒  y' = c1y   ⇒  y = c2ec1x
  Je ziet dat die eerste y = c gewoon een speciaal geval van de tweede is. Als algemene oplossing is de tweede genoeg.
       
3. andere valsspelers.

Andere valsspelers, (waarbij je x, y of y' expliciet kunt schrijven),  vind je niet alleen bij tweede-orde vergelijkingen maar ook al bij eerste-orde vergelijkingen. Die staan in  deze les beschreven. De daar gebruikte technieken lijken nogal op die van deze les.
       
Natuurkundig voorbeeld.
       
Een projectiel wordt horizontaal afgeschoten met beginsnelheid  v0,  en ondervindt tijdens zijn beweging een wrijvingskracht  Fw = cv2  (dus evenredig met het kwadraat van de snelheid)
Geef de horizontale afgelegde afstand als functie van de tijd.

Krachtenevenwicht horizontaal  geeft  ma = -kv2
Omgezet naar afstand y  geeft dat   my''  = -k • (y')2 

Nee maar!  Dat is een tweede orde vergelijking waarin y niet voorkomt!  Komt dat even mooi uit!  Kunnen we meteen de theorie van hierboven toepassen!!

Stel  v = y'  (de snelheid is de p van hierboven)
Dat geeft   mv' =  -kv2   en dat is een eerste orde vergelijking met oplossing  1/v = k/m  • t + c
De beginvoorwaarde  t = 0  geeft  v = v0  levert in dit geval dat c = 1/v0   dus de oplossing is  1/v = k/m • t + 1/v0 

Nu moeten we nog terug naar  y:     1/y'  =   k/m • t + 1/v0   is de tweede op te lossen vergelijking
Dat geeft

Nou, vooruit met de geit:  integreren die boel:

Beginvoorwaarde t = 0, y = 0  geeft   c2 = - m/k • ln(m)  dus:
 

       
  OPGAVEN
       
1. Geef de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijkingen:
       
  a. x2y''  = (y')2
       
  b. y''  = (y')2 + 1
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)