© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. Er moet gelden  f(1 - p) + f(1 + p) = 0  dus    f(1 - p) = - f(1 + p)
 
 
  Klopt.
       
2.
  daarbij is gebruikt dat  cos(π - p) = -cosp  en  sin(π - p) = sinp
 
  daarbij is gebruikt dat  cos(π + p) = -cosp  en  sin(π + p) = -sinp

f(π - p) = f(π + p)  dus is de functie symmetrisch tov de lijn x = π
       
3. Met domein [0, 2π] zou ik proberen of x = π misschien symmetrie-as is.
Dan moet gelden  f(π - a) = f(π + a)

 f(π - a) =  sin2(π - a) cos(π - a) - pcos(π - a)
= sin2a · -cosa -  p · -cosa
= -sin2a cosa + pcosa 

 f(p + a) =  sin2(π + a) cos(π + a) - pcos(π + a)
= (-sina)2 · -cosa -  p · -cosa
= -sin2a · cosa + pcosa 

Dat klopt dus.
       
4. a. fa(x) = 2sin(ax) + sin(2ax) .
fa' = 2acos(ax) + 2acos(2ax)
fa'(π/a) = 2acosπ + 2acos2π = -2a + 2a = 0
De grafiek van f en de x-as hebben in het punt (π/a, 0) beiden helling 0, dus ze raken elkaar.  
       
  b. Als de grafiek van f2 puntsymmetrisch is in het punt (1/2π, 0) dan moet gelden  f2(1/2π - x) = -f2(1/2π - x)

Gebruik het feit dat  sin(π - x) = sinx en sin(π + x) = -sinx  en  sin(2π - x) = -sinx en  sin(2π + x) = sinx  

f2(1/2π - x) = 2sin(2(1/2π - x)) + sin(4(1/2π - x))
= 2sin(π  - 2x) + sin(2π - 4x)
= 2sin2x - sin(4x)

-f2(1/2π + x) =  -2sin(2(1/2π + x)) - sin(4(1/2π + x))
= -2sin(π + 2x) - sin(2π + 4x)
= 2sin(2x) - sin(4x)

Dat is inderdaad gelijk.
       
5. Er moet gelden  f(1 - p) + f(1 + p) = 6
 
 
  f(1 - p) + f(1 + p) = (3p - 2 + 2 + 3p)/p = 6p/p = 6.
klopt dus.
       
6. a.

f ‘(x) = -2sin(2x) – cos(x) = 0 
2sinxcosx + cosx = 0 
cosx(2sinx + 1) = 0 
cosx = 0  Ú sinx = -0,5 
x = 1/2p + 2kp  Ú x = -1/2p + k2p   Ú  x = -1/6p + k2p  Ú x = 7/6p + k2p 
oplossingen  1/2p,  3/2p,  11/6p,  7/6p 
       
  b.

f(1,5p + p) =?=  f(1,5p – p)
cos(3p + 2p) – sin(1,5p + p)  =?=  cos(3p – 2p) – sin(1,5p – p) 

cos(3p + 2p) = -cos(2p) 
sin(1,5p + p) = -cosp 
cos(3p - 2p) = -cos(2p) 
sin(1,5p - p) = -cosp 

dat geeft  -cos(2p) + cosp  =?= -cos(2p) + cosp
       
7. a. fa(x) = 2sin(ax) + sin(2ax) .
fa' = 2acos(ax) + 2acos(2ax)
fa'(π/a) = 2acosπ + 2acos2π = -2a + 2a = 0
De grafiek van f en de x-as hebben in het punt (π/a, 0) beiden helling 0, dus ze raken elkaar.  
       
  b. Als de grafiek van f2 puntsymmetrisch is in het punt (1/2π, 0) dan moet gelden  f2(1/2π - x) = -f2(1/2π - x)
 
Gebruik het feit dat  sin(π - x) = sinx en sin(π + x) = -sinx  en  sin(2π - x) = -sinx en  sin(2π + x) = sinx  
 
f2(1/2π - x) = 2sin(2(1/2π - x)) + sin(4(1/2π - x))
= 2sin(π  - 2x) + sin(2π - 4x)
= 2sin2x - sin(4x)
 
-f2(1/2π + x) =  -2sin(2(1/2π + x)) - sin(4(1/2π + x))
= -2sin(π + 2x) - sin(2π + 4x)
= 2sin(2x) - sin(4x)
 
Dat is inderdaad gelijk.