© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
1. a. f ' (x) = 6 + 4 • 1/x  =  6 + 4/x
     
  b. f '(x) = 3 • 1/(2x + 4) • 2  = 6/(2x + 4)
     
  c. f ' (x) = 3x2 - 2 • 1/x  = 3x2 - 2/x
     
  d. 5 - 5/(xln5)
     
  e. 1/(xln4) + 1/(2xln4) • 2 = 1/xln4 + 1/xln4 = 2/xln4
     
  f. 1/(√xln4) • 1/2√x = 1/(2xln4)
     
  g. f '(x) =  2 • lnx • 1/x
     
  h. f '(x) = -1/x2 • 2x  = -2/x
     
  i. f '(x) = 1/lnx • 1/x = 1/(xlnx)
     
2. V(t) = 20 + 4 Χ 3log(t + 1) - 1,2t
   
  a. V '(t) = 8 Χ 1/(t + 1)ln3 - 1,1
Plot de grafiek van V ' en gebruik dan calc-zero
Of bereken het algebraοsch:
8 Χ 1/(t + 1)ln3 - 1,1 = 0
1,1 Χ (t + 1)ln3  = 8
t + 1 = 6,6199...
t = 5,6199...
Dat geeft  V = 27,582
Dat is dus 27582 euro per dag
   
  b. Y1 = V'
Y2 = -0,5
intersect  geeft  X = 11,14
Dus dag 11 α 12
     
3. a. 28 - V moet groter dan nul zijn
Dus V moet kleiner dan 28 zijn
De verkoop zal naderen naar 28000 boeken.
     
  b. 7 = 17 - 10 Χ log (28 - V)
log(28  - V) = 1
28 - V = 10
V = 18

R ' =  10/((28 - V)ln10)
V = 18  geeft  R ' = 0,43
Dus 430 euro per 1000 boeken en dat is  0,43 euro per boek.
     
4. a. 400 = 50 •  2log(x2 + 6)
8 = 2log(x2 + 6)
x2 + 6 = 28 = 265
x2 = 250
x = √250 = 15,8...
na 16 dagen zijn er voor het eerst meer dan 400 abonnementen
     
  b. A' = 50 • 1/(x2 + 6)ln2 • 2x 
A'(10) = 50 • 1/(102 + 6)ln2 • 20 = 13,6
dus 13 ΰ 14 abonnementen per dag. 

OF:
A(10) = 336
A(11) = 349
dat verandert met 13 per dag.
     
  c. A' = 50 • 1/(x2 + 6)ln2 • 2x   moet maximaal zijn.
Y1 = 50 • 1/(x2 + 6)ln2 • 2x   en dan calc = maximum geeft  x = 2,45 dagen
     
5. a. 8 = alog(0 + b) - c • 0
8 = alogb
a8 = b
     
  b. N = 1,1log(t + 2) - 1,2t
N is maximaal als de afgeleide nul is;
N' = 1/(t + 2)•ln1,1 - 1,2 = 0
1/(t + 2)•ln1,1 = 1,2
(t + 2)ln1,1 = 1/1,2 = 0,8333
t + 2 = 0,8333/ln1,1 = 8,743
t = 6,743
N(6,743) = log(6,743 + 2)/log1,1 - 1,2 • 6,743 = 14,7
dat zijn 147 artikelen.
     
  c. N(0) =  1,1log(0 + 2) - 1,2 • 0 = 7,3
7,3 =  1,1log(t + 2) - 1,2t
Y1 =  log(X + 2)/log(1,1) - 1,2X  en  Y2 = 7,3
intersect geeft  t = 21,5
dus na 21 ΰ 22 maanden.
     
6. h(x) = 1500 • log(5x + 1) - 100x
h'(x) = 1500 • 1/(5x + 1)ln10 • 5 - 100
h is maximaal als de afgeleide nul is.
1500 • 1/(5x + 1)ln10 • 5 - 100 = 0
7500 • 1/(5x + 1)ln10 = 100
 1/(5x + 1)ln10 = 1/75
(5x + 1)ln10 = 75
5x + 1 = 75/ln10
5x = 75/ln10 - 1
x = 15/ln10 - 1/5 = 6,3144
h = 1638 meter
     
7. P = 80 Χ log(A) - 6
P' = 80/Aln10
P ' = 1  geeft  A Χ ln(10) = 80
A = 34,74%  geabsorbeerd licht.
     
8. a. H(0) = 40000

75% is 30000
30000 = 40000 3-0,15t
3-0,15t = 0,75 -0,15t = 3log(0,75) = -0,2618…
t = 1,7457… uur na het breken
       
  b. logH = log(40000 3-0,15t)

logH = log(40000) + log(3-0,15t) 
logH = 4,61 – 0,15t log3 
logH = 4,61 – 0,07· t  ?
       
  c. De snelheid waarmee de olie de zee instroomt is gelik aan de snelheid

?waarmee de hoeveelheid in het schip kleiner wordt.
De snelheid is H’  en vanwege het kleiner worden moet dat -500 zijn

H ‘ = 40000 3-0,15t ·ln3 · -0,15 
H’= -6591 · 3-0,15t

-500 = -6591 · 3-0,15t
0,0758 = 3-0,15t 
-0,15t = 3log(0,0758) = -2,347…  
t = 15,65 uur na het breken
H(15,65) = 3034  liter in de tanker dus 40000 – 3034 = 36966 liter in zee
       
9. a. V = 0
12 – 8ln(2p) = 0
8ln(2p) = 12
ln(2p) = 1,5
2p = e1,5 = 4,481…
p = 2,24
       
  b. V ' = -8/(2p) · 2 = -8/p
V’(1,20) = -6,67
bij een prijs van 1,20 per sigaret zullen er per euro prijsverhoging 6670 sigaretten minder worden verkocht (dus per cent 66,7 sigaretten minder)
     
10. a. A = 1,5 • 2log(52) = 8,55
Dus 9 keer,
     
  b. A = 1,5 • 2log(n)
dA/dn = 1,5 · 1/(n ln2)  = 2,16/n  

n is positief, dus  2,16/n is ook positief dus de grafiek van A is stijgend

als n groter wordt dan wordt  2,16/n kleiner, dus de grafiek van A is afnemend stijgend.
     
  c. A4 = 1,5 • 2log(4n)
= 1,5 · (2logn + 2log4)
= 1,5 · 2log(n) + 3
= A1 + 3
     
11. a. bP Χ 2log(17) = bV Χ 2log(5)

bP > Χ 4,087 = bV Χ 2,322 
bP = 0,5681 Χ bV 
dat is niet precies de helft
     
  b. T(p + q) = 2log(p + 1) + 2log(q + 1)  = 2log((p + 1)(q + 1)) ?
Dat is  2log(pq + p + q  + 1)
T(pq) = 2log(pq)
pq < pq + p + q + 1   
dus  T(pq) < T(p) + T(q)
     
  c. T(n) =  2log(n + 1)

T ' = 1/((n + 1)ln2)
T ' (20) = 0,069 
Bij een menu van 20 knoppen zal ιιn knop meer of minder ongeveer 0,069 seconden schelen