© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. P(spieken \ meisje) = 1280/1680 = 0,7619
P(spieken) = 2680/3500 = 0,7657
Dat is niet gelijk, dus de eigenschappen zijn AFHANKELIJK.
       
2. P(even \ vijfvoud) = 4/8  (want van de 8 vijfvouden 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 zijn er 4 even)
P(even) = 1/2
Dat is gelijk, dus de gebeurtenissen A en B zijn ONAFHANKELIJK
       
3. a.
  inkomen hoger dan 40000 inkomen lager dan 40000  
wel drugs x   315
geen drugs     2485
  480 2320 2800
       
    Dit zijn de gegevens uit de tekst.
Omdat de eigenschappen onafhankelijk zijn moet gelden   x/480 = 315/2800
Dat geeft x = 54 en daarmee is de tabel verder in te vullen:
       
   
  inkomen hoger dan 40000 inkomen lager dan 40000  
wel drugs 54 261 315
geen drugs 426 2059 2485
  480 2320 2800
       
    P(lager dan 40000 en geen drugs) = 2059/2800 = 0,7354
       
  b. Van de 480 volwassenen met een inkomen hoger dan 40000 gebruiken er 54 drugs.
De kans is dus 54/480 = 0,1125
       
       
4.
  PvdA VVD overig  
komt wel opdagen 3800 3220 2425 9445
komt niet opdagen 200 280 75 555
  4000 3500 2500 10000
       
  a. 9445 van de 10000 komen opdagen dus dat is  94,45%  
       
  b. Van de 555 niet-opdagers zijn er 280 VVDers. De kans is dus  280/555 = 0,5045
       
  c. P(komt opdagen \ PvdA) = 3800/4000 = 0,95
P(komt opdagen) = 9445/10000 = 0,9445
Dat is niet gelijk, dus de gebeurtenissen zijn AFHANKELIJK
       
  d. Stel dat een deel  x van de andere partijen niet komt opdagen.
Dan komt in totaal van de 10000 mensen er  200 + 280 + 2500x = 480 + 2500x niet opdagen
Het percentage niet-opdagen bij de overige partijen moet gelijk zijn aan het percentage niet-opdagers in het totaal.
Dus moet gelden:  10000x = 480 + 2500x
7500x = 480
x = 480/7500 = 0,064
Dus 6,4% van de overige partijen zou niet moeten komen opdagen om het onafhankelijk te maken. 
       
5. a. P(EEE) = (1/2)3 = 1/8  en dat levert  3 punten
P(EEO) = (1/2)3 • 3 = 3/8 en dat levert 5 punten
P(OOE) = (1/2)3 • 3 = 3/8 en dat levert 7 punten
P(OOO) = (1/2)3 = 1/8 en dat levert 9 punten
       
   
punten X 3 5 7 9
kans 1/8 3/8 3/8 1/8
       
  b. Neem een geval:

P(X = 9\Y = 9)  betekent dat er 3 oneven punten en drie blauwe knikkers zijn getrokken.
Dus dat was drie keer nummer 9.
De kans daarop is  0,13 = 0,001

P(X = 9) = 0,125  (zie boven)

Dat is niet gelijk dus X en Y zijn afhankelijk.
       
6.
  B niet-B totaal
A a b  
niet-A c d  
totaal      
       
  Van de  a + c gevallen met eigenschap B zijn er a met eigenschap A, dus P(A \ B) = a/(a + c)
P(A) = (a + b)/(a + b + c + d)
Als die gelijk zijn dan moet dus gelden  a/(a + c) = (a + b)/(a + b + c + d)  ofwel  a(a + b + c + d) = (a + c)(a + b)

Van de a + b gevallen met eigenschap A zijn er a met eigenschap B, dus  P(B \ A) = a/(a + b)
P(B) = (a + c)/(a + b + c + d)
Als die gelijk zijn dan moet dus gelden  a/(a + b) = (a + c)/(a + b + c + d)  ofwel  a(a + b + c + d) = (a + c)(a + b)  

Dat zijn dus inderdaad dezelfde twee voorwaarden.
       
7. a.
  prijs niet-prijs totaal
geel 0 5000 5000
blauw 2250 750 3000
oranje 1250 750 2000
totaal 3500 6500 10000
       
  b. P(blauw \ prijs) = 2250/3500 = 0,6429
P(blauw) = 3000/10000 = 0,3
Dat is niet gelijk dus het is AFHANKELIJK
       
  c. P(oranje \ niet-prijs) = 750/6500 = 0,1154
P(oranje) = 2000/10000 = 0,2
Dat is niet gelijk dus het is AFHANKELIJK
       
8. Vanwege de laatste twee voorwaarden kun je de volgende tabel maken:
       
 
  A B C  
D        
E        
         
       
  Vul de andere voorwaarden in bij 100 gevallen:
       
 
  A B C  
D x y   70
E       30
  10 40 50 100
       
  omdat A en D onafhankelijk zijn geldt  P(D \ A) = P(D)  dus   x/10 = 0,7  dus x = 7
omdat B en D onafhankelijk zijn geldt  P(D \ B) = P(D)  dus   y/40 = 0,7  dus  y = 28
Dat geeft de volgende tabel:
       
 
  A B C  
D 7 28 35 70
E 3 12 15 30
  10 40 50 100
       
  P(C \ E) = 15/30 = 0,5
P(C) = 0,5
Dat is gelijk dus C en E zijn ONAFHANKELIJK
     
9. a. Er zijn 8 mogelijke uitkomsten  (KKK, KKM, KMK, MKK, MMK, MKM, KMM, MMM)
P(uitkomst 1) = P(KKM, KKK) = 2/8
P(uitkomst 1\uitkomst 2) = 1/4   (KKK, MMK, MKK, KMK) is één van de 4
Dat is gelijk dus de uitkomsten zijn onafhankelijk.
       
  b. Er zijn 8 mogelijke uitkomsten
P(uitkomst 1) = P(KKM, KKK) = 2/8   (zie vraag a)
P(uitkomst 1\uitkomst 3) = 1 
Dat is niet gelijk dus de uitkomsten zijn afhankelijk.
       
10. a. P(A) = 1/2
P(B) = P(eo) + P(oe) = 1/4 + 1/4 = 1/2
       
  b.
  eerste worp
e o
tweede worp e p2 (1 - p)p
o p(1 - p) (1 - p)2
       
    B is waar bij de cellen rechtsboven en linksonder en die hebben totale kans  2p(1 - p)
P(A\B)  = de cel linksonder = p(1 - p)/(2p(1 - p)
Dat moet gelijk zijn aan P(A) = p
p =  p(1 - p)/(2p(1 - p) geeft  p = 1/2   (p ≠ 0, 1)
Maar p = 0 en p = 1  zijn ook oplossingen
Dat geeft drie mogelijkheden:  p = 0,  1/2,  1