© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
       
1. a. P(k < 8) = P(k ≤  7)
       
  b. P(k > 2) = 1 - P(k ≤ 2)
       
  c. P(k = 12) = P(k ≤  12) - P(k ≤  11)
       
  d. P(k ≥ 35) = 1 - P(k ≤ 34)
       
  e. P(4 < k < 14) = P(k ≤  13) - P(k ≤  4)
       
  f. P(k = 0) = P(k ≤  0)
       
  g. P(k ≥ 13) = 1 - P(k ≤ 12)
       
  h. P(5 ≤ k < 15) = P(k ≤  14) - P(k ≤  4)
       
2. a. P(k < 5) = P(k ≤  4)
       
  b. P(k ≤ 5)
       
  c. P(k > 9) = 1 - P(k ≤ 9)
       
  d. P(k ≥  3) = 1 - P(k ≤  2)
       
  e. P(k = 11) = P(k ≤  11) - P(k ≤  10)
       
  f. :P(k  ≤ 20)
       
  g. P(k = 13 of k = 14) = P(k ≤  14) - P(k ≤  12)
       
  h. P(4 < k < 12) = P(k ≤ 11) - P(k ≤  4)
       
3. n = 20,   p = 0,9  (negen van de tien keer)
P(X ≥ 16) = 1 - P(X ≤ 15) = 1 - binomcdf(20, 0.9, 15) = 0,9568
       
4. a. n = 10  (tien ronden)
p = 18/37  (18 van de 37 zijn rood)
P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 1 - binomcdf(10, 18/37 , 3) = 0,8051
       
  b. n = 70  (70 ronden)
p = 1/37  (ιιn van de 37 is groen)
P(X < 3) = P(X ≤ 2) = binomcdf(70, 1/37, 2) = 0,7063
       
5. n = 120 (er doen 120 studenten tentamen)
p = 0,08 (gegeven)
P(10 < X < 20) = P(X ≤ 19) - P(X ≤ 10) = binomcdf(120, .08, 19) - binomcdf(120, .08,10) = 0,3635
       
6. a. n = 12  (er zijn 12 telefoontjes)
p = 0,86
P(X ≥ 7) = 1 - P(X ≤ 6) = 1 - binomcdf(12, 0.86, 6) = 0,9967
       
  b. Om een enquκte ingevuld te krijgen moeten er twee dingen gebeuren:
er moet opgenomen worden  EN men moet bereid zijn mee te werken.
De kansen daarop zijn 0,86 en 0,18 dus de kans dat beiden gebeurt is 0,86 • 0,18 = 0,1548
Van X telefoontjes krijg je dus gemiddeld 0,1548X ingevulde enquκtes.
0,1548X = 250  geeft  X = 1615
Een medewerker zal gemiddeld 1615 telefoontjes moeten plegen voor 250 ingevulde enquκtes.
       
  c. P(er nemen van de 20 zes op)
n = 20,
p = 0,86
P(X = 6) = binompdf(20, 0.86, 6) = 0,0868

P(van de 15 doen er 2 mee)
n = 15
p = 0,18
P(X = 2) = binompdf(15, 0.18, 2) = 0,2578

De kans dat beiden gebeurt is dan  0,0868 • 0,2578 = 0,0224
       
7. a. n = 20  (20 worpen)
p = 0,40  (40% kans op raak)
P(X > 12) = 1 - P(X ≤ 12) = 1 - binomcdf(20, 0.40, 12) = 0,0210
       
  b. n = ?
p = 0,40
P(X > 8) = 1 - P(X ≤ 8) = 1 - binomcdf(X, 0.40, 8)
Voer in:  Y1 = 1 - binomcdf(X, 0.40, 8)
Kijk bij TABLE wanneer dat voor het eerst meer dan 0,90 is
Dat is bij X = n = 30  (kans 0,9060)
De speler moet minstens 30 worpen nemen.
       
  c. Het maximale aantal successen is 5, dus de speler neemt 5 worpen, en n = 5
p is onbekend

P(X = 1) = binompdf(5, p, 1) = 0,31
Voer in  Y1 = binompfd(5, X, 1) en Y2 = 0,31
intersect (WINDOW Xmin = 0  en Xmax = 1 want dat is een kans)  geeft  X = p = 0,09  of  p = 0,35

P(X = 2) =  binompdf(5, p, 2) = 0,34
Voer in  Y1 = binompfd(5, X, 2) en Y2 = 0,34
intersect  geeft  X = p = 0,36  of  p = 0,44

P(X = 3) = binompdf(5, p, 3) = 0,18
Voer in  Y1 = binompfd(5, X, 3) en Y2 = 0,18
intersect  geeft  X = p = 0,35   of  p = 0,82

Omdat alle drie tegelijk moet gelden is p = 0,35  (ongeveer, want de percentages bij de staven zijn afgeronde getallen)
Dan is  P(X = 0) = binompdf(5, 0.35, 0) = 0,12  dus  12%
P(X = 4) = binompdf(5, 0.35, 4) = 0,049 dus 5%
P(X = 5) = binompdf(5, 0.35, 5) = 0,005 dus 0,5%
       
8. n = 3000 want er zijn 3000 mensen die dood kunnen gaan.
p = 0,01  noem succes dat er iemand doodgaat.
Als men k graven graaft dan zijn er niet genoeg graven als het aantal successen meer dan k is.
P(X > k) = 1 - P(X ≤  k - 1) < 0,04
Y1 = 1 - binomcdf(3000, .01, X - 1)
Kijk bij TABLE wanneer dat voor het eerst kleiner dan 0,04 is.
Dat geeft  X = k = 41  (kans 0,0316)
Men moet dus minstens 41 graven graven.
       
9. n = onbekend = X
p = 0,48  (succes is een vraag goed beantwoorden)
Meer dan de helft goed betekent P(k > 0,5X) = 1 - P(k ≤ 0,5X)
Voer in  Y1 = 1 - binomcdf(X, 0.48, 0.5X)
Kijk bij TABLE wanneer dat maximaal is (neem alleen even getallen voor X).
Dat geeft X = 24 of X = 26.  (kans 0,344)
Je moet 24 of 26 vragen nemen.
       
10. a. Om bij Jaap te komen moet Joop 10 stappen doen waarvan er 6 omhoog zijn.
n = 10
p = 2/6  (succes is dat hij omhoog gaat)
P(X = 6) = binompfd(10, 2/6, 6) = 0,0569
       
  b. Na 10 stappen is er het kritieke moment; dan is hij bij Joep of Jaap en daarna niet meer.
Hij gaat ertussendoor als het aantal stappen omhoog minder dan 6 en meer dan 1 is.
n = 10
p = 2/6  (succes is dat hij omhoog gaat)
P(1 < X < 6) = P(X ≤ 5) - P(X ≤ 1) = binomcdf(10, 2/6, 5) - binomcdf(10, 2/6, 1) = 0,8194
       
11. a. P(k = 2) = P(NW) = 0,2 • 0,8 = 0,16
P(k = 3) = P(NNW) = 0,2 • 0,2 • 0,8 = 0,032
       
  b. P(geen vlam in 3 pogingen) = 0,2 • 0,2 • 0,2 = 0,008
P(minstens ιιn vlam) = 1 - 0,008 = 0,992
       
  c. P(afkeuren) = 0,05 dus  p3 = 0,05
Dan is p = 0,051/3 = 0,3684
       
  d. (10 nCr 3) = 120  
       
  e. P(goedkeuren) = P(0 weigeringen OF 1 weigering OF 2 weigeringen)
Het aantal weigeringen is binomiaal verdeeld
n = 10
p = 0,2
P(X ≤ 20 binomcdf(10, 0.2, 2) = 0,6778
     
12. a. Het aantal beschimmelde sinaasappels is binomiaal verdeeld met n = 3 en p = 0,01
P(1 beschimmeld) = binompdf(3 , 0.01 , 1) = 0,029

OF
Noem B = beschimmeld (kans 0,01)  en N = niet-beschimmeld (kans 0,99)
1 beschimmeld kan bijv. via de serie BNN en de kans daarop is  0,01 • 0,992
Er zijn  3 nCr 1 = 3 zulke series, dus de totale kans wordt  3 • 0,01 • 0,992 = 0,029
     
  b. Het aantal beschimmelde sinaasappels in een doos is binomiaal verdeeld met n = 50 en p = 0,01
De kans op en doos zonder beschimmelde sinaasappels is dan binompdf(50 , 0.01 , 0) = 0,605

OF
Dan moeten alle sinaasappels goed zijn en de kans daarop is  0,9950 = 0,605
     
  c. De kans op een doos die niet in orde is is  1 - 0,605 = 0,395.
Het aantal dozen dat niet in orde is is binomiaal verdeeld met n = 5 en p = 0,395.
P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 1 - binomcdf(5 , 0.395 , 3) = 1 - 0,917 = 0,083
     
13. a. Het aantal  fout beantwoorde vragen is binomiaal verdeeld met n = 10 en p = 0,2
P(X ≥ 1) = 1 - P (X ≤ 0) = 1 - binomcdf(10, 0.2, 0) = 0,8926
     
  b. Stel dat er drie antwoorden zijn waarvan A het goede is.
P(A) = 0,8  en  P(B) = P(C) = 0,1
Dan is  P(AA) + P(BB) + P(CC)  = 0,82 + 0,12 + 0,12 = 0,66
     
  c. P(1 vraag hetzelfde) = 0,66  (zie vraag 9)
P(10 vragen hetzelfde) = 0,6610 = 0,0157
Dat is niet kleiner dan 1% dus de docent zal geen strafmaatregelen treffen.
     
14. a. Dit is een vaasmodel.
Er zijn 28 bloemkoolkaarten en 84 andere kaarten.
   
       
  b. Het aantal keren de de eerste kaart een tomaat is, is binomiaal verdeeld.
n = 150, p = 0,25
P(X > 37) = 1 - P(X ≤ 37) = 1 - binomcdf(150, 0.25, 37) = 0,4937
       
15. n is onbekend = X

marktkoopman 1:  p = 0,80  (succes is een goede appel)
P(k ≥ 20) = 1 - P(k ≤ 19) = 1 - binomcdf(X, 0.80, 19)
Y1 =  1 - binomcdf(X, 0.80, 19)
Kijk bij TABLE wanneer dat voor het eerst groter dan 0,99 is.
Dat geeft  X = 32  (kans 0,99395)
Je moet dus 32 appels kopen en dat kost 32 • 0,16 = €5,12

marktkoopman 2:  p = 0,85  (succes is een goede appel)
P(k ≥ 20) = 1 - P(k ≤ 19) = 1 - binomcdf(X, 0.85, 19)
Y1 =  1 - binomcdf(X, 0.85, 19)
Kijk bij TABLE wanneer dat voor het eerst groter dan 0,99 is.
Dat geeft  X = 29  (kans 0,99706)
Je moet dus 29 appels kopen en dat kost 29 • 0,18 = €5,22

Marktkoopman 1 is het goedkoopst, en het gaat  €5,12 kosten.
       
16. a. n = 306
p = 0,50 (kans op winst thuisspelende ploeg)
P(X < 170) = P(X ≤ 169) = binomcdf(306, 0.50, 169) = 0,9705
       
  b. n = 306
p = 0,20 (kans op winst uitspelende ploeg)
P(X ≥ 80) = 1 - P(X ≤ 79) = 1 - binomcdf(306, 0.20, 79) = 0,0,0055
       
  c. In 306 wedstrijden kunnen maximaal 306 • 3 = 918 punten gehaald worden (als er geen gelijkspellen zijn)
Elk gelijkspel zorgt voor 1 punt minder (1-1 in plaats van 3-0)
846 punten betekent dus 72 gelijkspellen.
n = 306
p = 0,30 (kans op gelijkspel)
P(X = 72) = binompdf(306, 0.30, 72) = 0,0022
       
17. a. P(2e raak) = P(1e raak en 2e raak) + P(1e mis en 2e raak)
= 0,70 • 0,80 + 0,30 • 0,60
= 0,74
       
  b. n = 100
p = 0,74 (vraag a)
P(X ≥ 80) = 1 - P(X ≤ 79) = 1 - binomcdf(100, 0.74, 79) = 0,1027
       
18. a. n = 400
p = 0,60
P(X > 250) = 1 - P(X ≤ 250) = 1 - binomcdf(400, 0.60, 250) = 0,1418
       
  b. n = ?
p = 0,60
P(X > 200) = 1 - P(X ≤ 200) = 1 - binomcdf(?, 0.60, 200) < 0,05
Y1 = 1 - binomcdf(X, 0.60, 200)
Kijk bij TABLE wanneer dat kleiner is van 0,05
Dat is bij X = 0 tot en met 310
De winkelier kan maximaal 310 bonnen uitdelen
       
19. a P(wel, wel) = 1/32 • 1/32 = 0,00097656 dus dat is ongeveer 0,001
       
  b. n = 500
p = 0,001  (vraag a)
P(X = 4) = binompdf(500, 0.001, 4) = 0,0016
       
  c. n = 500
p = 0,001  (vraag a)
P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 1 -  binomcdf(500, 0.001, 3) = 0,0,0017
       
  d. n = 500
p = ?
P(X = 4) = binompdf(500, ?, 4) = 0,002
Y1 = binompdf(500, X, 4)
Y2 = 0,002
intersect geeft X = 0,0266  of  X = 0,00107  en dat is  p2
Dus p = √0,0266 = 0,163  of  p = √0,00107 = 0,033

Die eerste is wel ERG groot, dus waarschijnlijk zal de tweede de gezochte kans zijn.
       
20. a. n = 20
p = 0,08
P(X = 3) = binompdf(20, 0.08, 3) = 0,1414
       
  b. n = 50
p = 0,02
P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 1 - binomcdf(50, 0.02, 4) = 0,0032
       
  c. Als er F fietsers zijn, dan zijn er 540 - F auto's geweest.
0,08F + 0,02(540 - F) = 24
0,08F + 10,8 - 0,02F = 24
0,06F = 13,2
F = 220
Dat zijn dus 220 fietsers en 320 auto's geweest.
       
21. a. 0,8745 = 0,0019  
       
  b. n = 45
p = 0,13 (kans dat Giri niet wint)
P(X ≥ 10) = 1 - P(X ≤ 9) = 1 - binomcdf(45, 0.13, 9) = 0,0602
       
  c. Dat is 5 verlies, 30 winst en 10 remise.
0,035 • 0,8730 • 0,1010 • (45 nCr 5) • (40 nCr 30) = 0,000039
       
22. P(spijbelen) = P(6) + P(5 en dan 6) = 1/6 + 1/6 • 1/6 = 7/36
P(opdagen) = 1 - 7/36 = 29/36
n = 23
p = 29/36
P(X < 18) = P(X ≤ 17) = binomcdf(23, 29/36, 17) = 0,2813
       
23. Er zijn drie manieren om te ontsnappen:

I:   via de onderste rij: dan moet je direct 7 keer Oost kiezen. kans is (4/6)7  = 0,0585

II:  via de ιιn na onderste rij. Dan moet je na 7 stappen  6 keer Oost en ιιn keer Noord hebben gekozen, en de achtste stap moet Oost zijn. Kans:  binompdf(7, 4/6, 6) • 4/6 = 0,1366

III:  via de tweede rij van onderen: Dan moet je na 8 stappen 2 Noord en 6 Oost hebben gekozen, en de negende stap Oost nemen. Kans: binompdf(8, 4/6, 6) • 4/6 = 0,1821

Samen geeft dat kans   0,0585 + 0,1366 + 0,1821 = 0,3772
       
24. 11 mensen moeten een muntstuk opgooien, dus n = 11
De kans dat iemand hem schuldig vindt is dan 0,5
De verdachte wordt veroordeeld als minstens 11 mensen hem schuldig vinden, dus van de muntstukgooiers moeten minstens 6 hem schuldig vinden
P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5) = 1 - binomcdf(11, 0.5, 5) = 0,5
       
25. n = aantal mensen  = ?
p = kans op jarig op 19 maart = 1/36
P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - binomcdf(X, 1/36, 2)
Y1 = 1 - binomcdf(X, 1/365, 2)
Kijk bij TABLE wanneer dat voor het eerst groter dan 50% is.
Dat is vanaf X = 976
De groep moet dus minstens 976 mensen zijn.
       
26. a. n = 19
p = 0,80  (kans dat iemand WEL komt opdagen)
Er is overbezetting als er meer dan 16 mensen komen opdagen.
P(X > 16) = 1 - P(X ≤ 16) = 1 - binomcdf(19, 0.80, 16) = 0,2369
       
  b. n = ?
p = 0,80  (kans dat iemand WEL komt opdagen)
Er is overbezetting als er meer dan 16 mensen komen opdagen.
P(k > 16) = 1 - P(k ≤ 16) = 1 - binomcdf(X, 0.80, 16)
Y1 = 1 - binomcdf(X, 0.80, 16)
Kijm bij TABLE voor welke waarden dat kleiner dan 0,1 is.
Dat is bij n kleiner dan 19.
Het aantal huurders is maximaal 18.
       
27. a. 0,3 • 0,3 • 0,3 • 0,3 • 0,3 • 0,7 • 0,7 • 0,7 • 0,7 • 0,7 = 0,0004
       
  b. binomiaal verdeeld met n = 40, p = 0,3
P(X > 12) = 1 - P(X ≤ 12) = 1 - binomcdf(40, 0.3, 12) = 0,423
       
28. a. binomiaal met n = 50 en p = 0,9
P(X ≥ 45) = 1 - P(X ≤ 44) = 1 - binomcdf(50 , 0.9 , 44) = 0,62
       
  b. Voor ιιn bedrijf is de kans na 5 jaar te overleven 0,955 = 0,77378
n = 144,  p = 0,77378
P(X ≥ 100) = 1 - P(X ≤ 99) = 1 - binomcdf(144, 0,77378 , 99) = 0,99
       
29. n = 5
p = 0,75
P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 1 - binomcdf(10, 0.75, 4) » 0,98
       
30. a. P(geen prijs) = 0,95 • 0,80 = 0,76
Dus P(minstens ιιn prijs) = 1 - 0,76 = 0,24
       
  b. Binomiaal met n = 20,  p = 0,24
P(X ≥ 8) = 1 - P(X ≤ 7) = 1 - binomcdf(20, 0.24 , 7) = 0,083
       
31. a. binomiaal verdeeld met n = 154 en p = 0,05
P(X ≤ 2) = binomcdf(154, 0.05, 2) = 0,015
       
  b. binomcdf(154, X, 2) = 0,05
Y1 = binomcdf(154, X, 2)  en  Y2 = 0,05
window bijv.  Xmin = 0, Xmax = 1, Ymin = 0, Ymax = 0,1
intersect geeft  p = 0,04
       
32. a. het aantal schadegevallen is binomiaal  verdeeld met n = 800 en p = 0,01
P(6) = binompdf(800, .01, 6) = 0,1223
       
  b. P(X ≥ 20) = 1 - P(X ≤ 19) = 1 - binomcdf(800, 0.01, 19) = 0,0002317
       
33. a. Er zijn twee mogelijkheden: 
F, NF, F, NF, F, NF, F, NF, F, NF  en   NF, F, NF, F, NF, F, NF, F, NF, F
De kans op beiden is gelijk, en die is  5/10 • 4/9 • 4/8 • 4/7 • 3/6 • 3/5 • 2/4 • 2/3 • 1/2 • 1 = 1/252
De totale kans is daarom  2 • 1/252 = 1/126 ≈ 0,008

(of: er zijn  10 nCr 5 = 252 mogelijkheden, waarvan 2 gunstig, dus de kans is  2/252)
       
  b. Voor ιιn persoon is die kans  0,2.
Het aantal proefpersonen dat de eerste dag tablet 1 of 2 kiest is binomiaal verdeeld.
Het aantal experimenten is n = 18.
De kans op succes (1 of 2 kiezen) per keer is 0,2
Het gaat om 6 of meer successen, dus  P(X ³ 6) = 1 - P(X ≤ 5) = 1 - binomcdf(18, 0.2, 5) = 0,133
       
34. a. het aantal ritten is binomiaal verdeeld met n = 40 en p = 0,5.
P(X  ≥ 26) = 1 - P(X ≤ 25) = 1 - binomcdf(40, .5, 25) = 0,0403
       
  b. precies 26 geeft kans  binompdf(40, p, 26)
voer in de GR in:   Y1 = binompdf(40, p, 26)
kijk bij TABLE wanneer dat maximaal is.
(Tblset -  Tblstart 0,5 en ΔTbl 0,01 geeft de tabel hiernaast)
Het maximum zit inderdaad bij p = 0,65
       
35. a. Voor elk antwoord zijn er steeds 4 mogelijkheden.
Samen geeft dat 4 • 4 • 4 • ..... = 410 = 1048576 mogelijkheden.
       
  b. De kans op een goed antwoord is elke keer 1/3.
Dat is dus binomiaal verdeeld.
n = 10
p  = 1/3
P(X ≤ 5) = binomcdf(10, 1/3, 5) = 0,9234
       
36. a. Bij ιιn dag is de kans dat ze op tijd is 0,866
Voor vijf dagen is dan de kans 0,8665 = 0,487 en dat is inderdaad kleiner dan 0,5
     
  b. In 19 weken zijn er 19 • 5 = 95 schooldagen.
n = 95
p = 0,134  (de kans dat de trein te laat komt is 1 - 0,866)
P(X ≥ 9) = 1 - P(X ≤ 8) = 1 - binomcdf(95, 0.134, 8) = 0,9038
     
  c. P(0 keer officieel te laat) = P(0 of 1 keer echt te laat)
binomcdf(5, 0.134, 1) = 0,8638....  en dat is afgerond 0,864

P(1 keer officieel te laat) = P(2 keer echt te laat)
binompdf(5, 0.134, 2) = 0,1166.... en dat is afgerond 0,117
     
37. a. Als er meer dan 65 over zijn, dan moeten meer dan 17 van de gokkers het goed hebben.
Dit is voor de gokkers een binomiaal experiment met n = 52, p = 1/3
P(X > 17) = 1 - P(X ≤ 17) = 1 - binomcdf(52, 1/3, 17) = 0,4739
       
  b. Als X spelers gokken, zullen daarvan 1/3X het goed hebben
De andere 70 - X mensen wisten het dus zeker.
Dan zijn er uiteindelijk  70 - X + 1/3X mensen over zijn.
70 - X + 1/3X = 54  ⇒  2/3X = 16  ⇒  X = 24.
Er hebben naar verwachting 24 mensen gegokt.
       
38. a. de helft is 254 mannen.
Dit is binomiaal verdeeld met n = 508 en p = 0,52
P(X = 254) = binompdf(508, 0.52, 254) = 0,0236
       
  b. Dit is binomiaal verdeeld met n = 219 en p = 0,71.
P(meer dan 150 maar minder dan 165)
= P(150 < X < 165)
= P(X ≤ 164) - P(X ≤ 150)
= binomcdf(219, 0.71, 164) - binomcdf(219, 0.71, 150)
= 0,9117 - 0,2273
= 0,684
       
  c. P(X ≥ 50) = 1 - P(X ≤ 49) = 1 - binomcdf(508, p, 49) = 0,816
Y1 = 1 - binomcdf(508, X, 49)
Y2 = 0,816
intersect geeft dan een kans van   p = 0,11
       
  d. P(voldoende vrouwen in leven)
= P(minstens 50 vrouwen in leven)
= P(X > 50)
= 1 - P(X ≤ 49)
= 1 - binomcdf(219, 0.26, 49) = 0,8750

De kans dat er voldoende mannen in leven zijn is 0,816

De kans dat beiden voorkomt is dan 0,816 • 0,8750 = 0,714