© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||
1. | De lengte van het
lijnstuk is L = f(p) - g(p) = x • e0,5x
- (e0,5x
- 2) Dat is minimaal als de afgeleide ervan nul is: Met de productregel: L' = 1 • e0,5x + x • 0,5 • e0,5x - 0,5 • e0,5x = 0 Y1 = e0,5x + x • 0,5 • e0,5x - 0,5 • e0,5x calc - zero geeft x = -1 L(-1) = -1 • e-0,5 - (e-0,5 - 2) = 2 - 2e-0,5 = 2 - 2/√e= 0,78 |
||
2. | a. | Als de palen 4 meter
uit elkaar staan, en het laagste punt ligt bij x = 0, dan bevinden de palen zich bij x = 2 en x = -2 a = 0,8 geeft y = 0,4 • (e1,25x + e-1,25x) De afgeleide is dan y' = 0,4 • (e1,25x • 1,25 + e-1,25x • -1,25) x = 2 geeft y' (2) = 0,4 • (e2,5 • 1,25 + e-2,5• -1,25) = 6,05 dat is de helling van de ketting |
|
b. | x = 0 moet y = 2
geven. x = 0: 0,5 • a • (1 + 1) = 2 geeft a = 2 |
||
3. | f '(x)
= e0,5 - x²
• -2x f '(1) = e-0,5 • -2 = -2/√e dus de raaklijn is de lijn y = -2/√e • x + b f(1) = e-0,5 = 1/√e dus moet gelden 1/√e = -2/√e • 1 + b ⇒ b = 3/√e De raaklijn is de lijn y = -2/√e • x + 3/√e y = 0 geeft dan 0 = -2/√e • x + 3/√e 2/√e • x = 3/√e x = 1,5 Het snijpunt met de x-as is (1.5, 0) |
||
4. | a. | P(t) = 0,8P0
geeft 0,8P0 = P0 • e-0,000029t
0,8 = e-0,000029t Y1 = 0,8 en Y2 = e^(-0,000029X) en dan intersect geeft t = 7695 |
|
b. | P(t) = 100 •
e-0,000029t geeft P'(t)
= 100 • -.000029 • e-0,000029t P'(20000) = 100 • -0,000029 • e-0,000029 • 20000 = -0,0016 Dat stelt voor: de snelheid waarmee het stralingsniveau per jaar afneemt op tijdstip t = 20000 |
||
5. | a. | 0,3I0 = I0
• e-0,9 • 0,12 • l 0,3 = e-0,108• l Y1 = 0,3 en Y2 = e^(-0,108X) en dan intersect geeft l = 11,1 meter |
|
b. | Als de intensiteit
afneemt met 1% per meter, dan is I ' = -0,01 • I I' = I0 • e-0,108 • l • -0,108 = -0,01 • I0 e-0,108 • l = 0,0926 Y1 = e^(-0,108X) en Y2 = 0,0926 en dan intersect geeft l = 22 meter |
||
6. | a. | x
≥ 2: f ' = 4 • e(-0,5
+ 0,25x) • 0,25 (die 0,25 komt van de kettingregel)
en f '(2) = 1 x ≥ 2: f ' = 3/2 - 1/2x en f '(2) = 1/2 |
|
b. | Bereken eerst de top: f '= 0 geeft 3/2 - 1/2x = 0 en dus x = 3, en y = 1 + 3.2 • 3 - 1/4 • 32 = 31/4. De grafiek moet dus 3 naar links geschoven worden en 31/4 omlaag. Dan moet x worden vervangen door (x + 3) en bovendien moet er -31/4 achter de hele formule gezet worden. Dat geeft: y = -1 + 4e(-0,5 + 0,24(x + 3)) - 31/4 |
||
7. | a. | 30 = 65 • e-0,012k
Y1 = 30 en Y2 = 65 * e^(-0,012X) en dan intersect geeft maximaal 64 andere kinderen |
|
b. | hoeveelheid snoep = aantal
kinderen * aantal snoepjes per kind H = k • S = k • 65 • e-0,012k H is maximaal als H' nul is: 1 • 65 • e-0,015k + k • 65 • e-0,012k• -0,012 = 0 e-0,012k • (65 - 0,78k) = 0 65 - 0,78k = 0 k = 83, 33 k = 83 geeft H = 1992,7 k = 84 geeft H = 1992,6 Dus H = 1992,7 is de maximale hoeveelheid snoep (bij 83 kinderen) |
||
8. | a. | R'(4) = 100 • e(-0,1• 64 + 0,5• 16) • (-0,3•16 + 4) = -396 ratten per dag | |
b. | plot: Y1 = 100*e^(-0,1*X^3+0,5*X^2) Y2 = nDeriv(Y1, X, X) calc - maximum - Y2 geeft dan t = 2,41 |
||
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |