© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     
1. De lengte van het lijnstuk is L =  f(p) - g(p)  = xe0,5x - (e0,5x - 2)
Dat is minimaal als de afgeleide ervan nul is:
Met de productregel:
L' = 1 • e0,5x + x • 0,5 • e0,5x  - 0,5 • e0,5x = 0
Y1 = e0,5x + x • 0,5 • e0,5x  - 0,5 • e0,5x
calc - zero geeft x = -1
L(-1) = -1 • e-0,5 - (e-0,5 - 2) = 2 - 2e-0,5 = 2 - 2/e= 0,78
       
2. a. Als de palen 4 meter uit elkaar staan, en het laagste punt ligt bij x = 0,
dan bevinden de palen zich bij x = 2 en x = -2
a = 0,8 geeft  y = 0,4 • (e1,25x + e-1,25x)
De afgeleide is dan  y' =  0,4 • (e1,25x • 1,25 + e-1,25x • -1,25)

x
= 2 geeft  y' (2) = 0,4 • (e2,5 • 1,25 + e-2,5• -1,25) = 6,05
dat is de helling van de ketting
       
  b. x = 0 moet y = 2 geven.
x = 0:   0,5 • a • (1 + 1) = 2  geeft  a = 2
       
3. f '(x) = e0,5 - x² • -2x
f
'(1) = e-0,5 • -2 =  -2/
e  dus de raaklijn is de lijn y = -2/e x + b

f(1) = e-0,5 = 1/
e  dus moet gelden   1/e  = -2/e 1 +   b = 3/e 
De raaklijn is de lijn  y =  -2/
e x + 3/e
y =
0  geeft dan  0 = -2/
e x + 3/e
2/
e x = 3/e
x =
1,5
Het snijpunt met de x-as is  (1.5, 0)
       
4. a. P(t) = 0,8P0  geeft  0,8P0 = P0e-0,000029t
0,8 = e-0,000029t
Y1 = 0,8 en Y2 = e^(-0,000029X) en dan intersect geeft  t = 7695
       
  b. P(t) = 100 • e-0,000029t   geeft  P'(t) = 100 • -.000029 • e-0,000029t
P'(20000) = 100 • -0,000029 • e-0,000029 • 20000 = -0,0016
Dat stelt voor:  de snelheid waarmee het stralingsniveau per jaar afneemt op tijdstip t = 20000
       
5. a. 0,3I0 = I0e-0,9 • 0,12 • l
0,3 = e-0,108• l 
Y1 = 0,3  en  Y2 = e^(-0,108X) en dan intersect geeft  l = 11,1 meter
       
  b. Als de intensiteit afneemt met 1% per meter, dan is  I ' = -0,01 • I
I' = I0e-0,108 • l • -0,108 = -0,01 • I0
e-0,108 • l  = 0,0926
Y1 = e^(-0,108X) en Y2 = 0,0926 en dan intersect geeft  l = 22 meter
       
6. a. x ≥ 2:  f ' = 4 • e(-0,5 + 0,25x) • 0,25  (die 0,25 komt van de kettingregel) en  f '(2) = 1
x ≥ 2:  f ' = 3/2 - 1/2x  en  f '(2) = 1/2 
       
  b. Bereken eerst de top:
f '= 0 geeft  3/2 - 1/2x = 0  en dus  x = 3, en y = 1 + 3.2 • 3 - 1/4 • 32 = 31/4.
De grafiek moet dus 3 naar links geschoven worden en 31/4 omlaag.
Dan moet x worden vervangen door (x + 3) en bovendien moet er -31/4 achter de hele formule gezet worden.
Dat geeft: y = -1 + 4e(-0,5 + 0,24(x + 3)) - 31/4
       
7. a. 30 = 65 • e-0,012k
Y1 = 30  en Y2 = 65 * e^(-0,012X) en dan intersect geeft  maximaal 64 andere kinderen
       
  b. hoeveelheid snoep = aantal kinderen * aantal snoepjes per kind
H = k • S = k • 65 • e-0,012k
H is maximaal als H' nul is:
1 • 65 • e-0,015k + k • 65 • e-0,012k• -0,012 = 0
e-0,012k • (65 - 0,78k) = 0
65 - 0,78k = 0
k = 83, 33
k = 83 geeft  H = 1992,7
k = 84 geeft  H = 1992,6
Dus H = 1992,7 is de maximale hoeveelheid snoep (bij 83 kinderen)
       
8. a. R'(4) = 100 • e(-0,164 + 0,5 16)  • (-0,316 + 4) = -396  ratten per dag
       
  b. plot:
Y1 = 100*e^(-0,1*X^3+0,5*X^2)
Y2 = nDeriv(Y1, X, X)
calc - maximum - Y2  geeft dan   t = 2,41
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)