© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a. De helft zegt JA vanwege het muntstuk.
Van de andere helft zegt nog eens 12% ook JA omdat ze spieken. Dat is 0,5 • 0,12 = 0,06
Samen geeft dat  0,5 + 0,06 = 0,56
       
  b. 44 hebben JA geantwoord vanwege het muntstuk.
Van de andere 44 hebben er nog eens 52 - 44 = 8  ook JA geantwoord.
Van die andere 44 zullen er dus ook naar verwachting 8 gespiekt hebben.
Er zullen naar verwachting dus 16 leerlingen gespiekt hebben.
       
  c. binomiaal verdeeld.
n = 20
p = 0,25
P(X = 8) = binompdf(20, 0.25, 8) = 0,0609
       
  d.
       
  e. P(meisje \ spiekt nooit) = 10/24 = 0,4167
P(meisje) =  20/48 = 0,4167
Dat is gelijk dus de gebeurtenissen zijn ONAFHANKELIJK.
       
  f. :)  
       
2. a. 500
410
401
320
311
302
230
221
212
203
140
131
122
113
104
041
032
023
014
050
005
       
  b.
D1 0 1 2 3 4 5
kans 6/21 5/21 4/21 3/21 2/21 1/21
       
    P(X2 = 2 V X1 = 3)
= P(320, 221, 122, 311, 302)
= 5/21 

P(X2 = 2 V X1 = 3 )\ (X2 = 0)  =  1/6  

Dat is niet gelijk dus de kansen zijn afhankelijk.
       
  c.
Y2 0 1 2 3
kans 12/21 6/21 3/21 0
       
    P(Y2 = 0)\ (Y1 = 1)
Is de kans dat geen doos 2 balletjes heeft terwijl gegeven is dat 1 doos 1 balletje heeft.
1 doos 1 balletje  is  410, 401, 221, 212, 140, 122, 104, 041, 014
Daarvan is er in de gevallen 410, 401, 140, 104, 041, 014 geen doos met 2 balletjes: 6 gevallen van de 9
De kans is dus  6/9
       
3. a. P(minstens één sticker) = 1 - P(geen sticker)
n = 5
p = 0,12 (succes = een sticker)
P(X = 0) = binompdf(5, 0.12, 0) = 0,5277
P(minstens één sticker) = 1 - 0,5277 = 0,4723
       
  b. P(6 flesjes) = P(één sticker bij de eerste vijf) • P(geen sticker bij het zesde flesje)
= 0,5277 • 0,88 = 0,4644
       
  c. Als hij n flesjes koopt is de kans op geen sticker 0,88n
0,88n = 0,01  geeft  n = 36.
       
  d. n = ?
p = 0,12
P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) > 0,999
Y1 = 1 - binompdf(X, 0.12, 0)
Kijk bij TABLE wanneer dat voor het eerst groter dan 0,999 is
Dat geeft  n = 55
       
  e. P(1) = 0,12
P(2) = 0,88 • 0,12
P(3) = 0,882 • 0,12
P(4) = 0,883 • 0,12
enz.

gemiddeld geeft dat  1 • 0,12 + 2 • 0,88 • 0,12 + 3 • 0,882 • 0,12 + 4 • 0,883 • 0,12 + ....
daar komt ongeveer 8,33 uit.
     
4. a. Gemiddeld zal hij per 26 flesjes één gratis flesje krijgen.
Dus 10 gratis flesjes bij gemiddeld 260 flesjes.
     
  b. De kans op een P is  1/26,  dus de kans op geen P is  25/26.
De kans op  niet P - niet P - wel P  is dan  (25/26)•(25/26)•(1/26) » 0,036
     
  c. Het aantal kurken met een P is binomiaal verdeeld met  n = 10  en  p = 1/26
P(X ³ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - binompdf(40 , 1/26 , 0) = 1 - 0,67556... = 0,32443...  dus ongeveer 0,324
(Je kunt de kans op  X = 0  natuurlijk ook uitrekenen door  (25/26)10 te berekenen)
     
  d. De kans op precies de volgorde  P-I-L-S is  (1/26)•(1/26)•(1/26)•(1/26)
Er zijn  4•3•2•1 = 24 zulke volgorden te maken.
De totale kans wordt dus 24 • (1/26)4 = 0,000053... en dat is ongeveer 0,0053%

OF
De kans op een goede letter bij de eerste kurk is  4/26
De kans op een goede letter bij de tweede kurk is  3/26
De kans op een goede letter bij de tweede kurk is  2/26
De kans op een goede letter bij de tweede kurk is  1/26
De totale kans wordt dan  (4/26)•(3/26)•(2/26)•(1/26) = 0,000053... en dat is ongeveer 0,0053%
     
5. a. Binomiaal met  n = 50,  p = 0,08
P(X ≥ 8) = 1 - P(X ≤ 7) = 1 - binomcdf(50, 0.08, 7) = 0,04379
     
  b. P(linkerzij-rechterzij) + P(rechterzij-linkerzij) = 0,29 • 0,35 + 0,35 • 0,29 = 0,20
     
  c. P(punten kwijt) = 0,20
P(punten niet kwijt) = 1 - 0,20 = 0,80
P(niet-niet-niet) = 0,80 • 0,80 • 0,80 » 0,5
     
  d. De volgende kansboom geldt:
   

    De behaalde punten zijn zwart, de kansen blauw.
a:  P(linkerzij-linkerzij) + P(rechterzij-rechterzij) = 0,29 • 0,29 + 0,35 • 0,35 = 0,2066
b:  1 - 0,20 - 0,2066 = 0,5934
De rode takken leveren winst op:
0,5934 + 0,2066 • 0,8 = 0,75868
     
6. a. P(ABC) = 0,50 • 0,30 • 0,20 = 0,03
er zijn 6 zulke volgorden mogelijk , dus de kans is 6 • 0,03 = 0,18.
       
  b. minstens dan 10:   AAA of AAB
de kans daarop is 0,5 • 0,5 • 0,5 + 3 • 0,5 • 0,5 • 0,3 = 0,35
P(minder dan 10) = 1 - 0,35 = 0,65
       
  c. de verwachtingswaarde:   0,5 • 4 + 0,3 • 2 + 0,2 • 1 = €2,80
       
  d. bninomiaal m,et n = 100, p = 0,2
P(X > 25) = 1 - P(X ≤ 24) = 1 - binomcdf(100, 0.2, 24) = 0,1314
       
7. a. P(MMMV) = 8/16 • 7/15 • 6/14 • 8/13 = 4/65
Er zijn  4 nCr 1 = 4  zulke mogelijke volgorden, dus de totale kans is 4 • 4/65 = 16/65
     
  b. Dan moet speler 1 vier wedstrijden winnen: kans (1/2)4 = 1/16
verder moet speler 2 de eerste drie wedstrijden winnen: kans (1/2)3 = 1/8
Samen geeft dat een kans van  1/16 • 1/8 = 1/128
     
  c.
aantal wedstrijden 1 2 3 4
kans 1/2 1/2 • 1/2 = 1/4 1/2 • 1/2 • 1/2 = 1/8 1/2 • 1/2 • 1/2 = 1/8
     
    De verwachtingswaarde is dan  1 • 1/2 + 2 • 1/4 + 3• 1/8 + 4 • 1/8 = 1,875

of:
Er worden 8 + 4 + 2 + 1 = 15 wedstrijden gespeeld, dus wordt 30 keer door iemand een wedstrijd gespeeld.
Er zijn 16 deelnemers, dus gemiddeld is dat 30/16 = 1,875 wedstrijden per persoon.

     
  d. Stel V het aantal vrouwen dat wint, en g het grensgetal waarnaar we opzoek zijn;
P(V ≥ g , n = 52, p = 1/2) < 0,05
1 - P(V ≤ g - 1) < 0,05
Voer dus in Y1 = 1 - binomcdf(52, 0.5, X - 1) en kijk met TABLE wanneer de waarde voor het eerst kleiner is dan 0,05. Dat is bij X = 33 (P = 0,0352)
Dus 33 of meer vrouwelijke winnaars wordt abnormaal hoog gevonden.
     
8. a.
     
    P(één kleur niet) = P(niet rood) + P(niet geel) + P(niet blauw)
   
    = 56/120 + 35/120 + 10/120
= 101/120
= 0,8417
     
  b. P(niet alle kleuren) = 1 - 1/4 = 3/4
Dit is binomiaal verdeeld.
n = 50
p = 3/4
P(X ≤ 30) = binomcdf(50, 0.75, 30) = 0,0139
     
  c. De laatste knikker ligt steeds vast: dat moet een rode zijn.
Van de overige knikkers moet er dan nog één rode zijn, en de rest niet-rood
Dat geeft de volgende kansen:
   
    uitrekenen geeft deze kansverdeling:
     
   
R 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P 0,0111 0,0444 0,0667 0,0889 0,1111 0,1333 0,1556 0,1778 0,2000
     
9. a. P(PPP) = 2/6 • 2/6 • 2/6 = 1/27  
       
  b. P(CCC) = 1/6 • 1/6 • 1/6 = 1/216
P(PPP) = 2/6 • 2/6 • 1/6 = 4/216
P(KKK) = 3/6 • 2/6 • 2/6 = 12/216
       
  c. De kans op geen geld is per keer  1 - 0,005 - 0,019 - 0,056 = 0,92

P(25) = P(25-0) + P(0-25) + P(10-15) + P(15-10)
= 0,005 • 0,92 + 0,92 • 0,005 + 0,056 • 0,019 + 0,019 • 0,056 =  0,0113
       
  d. 25 • 0,005 + 15 • 0,019 + 10 • 0,056 + 0 • 0,92 = €0,97