© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. P(deelbaar door 4 OF deelbaar door 25)
= P(deelbaar door 4) + P(deelbaar door 25) - P(deelbaar door 4 én door 25)
= P(deelbaar door 4) + P(deelbaar door 25) - P(deelbaar door 100)
= 1/4 + 1/25 - 1/100
= 0,28
       
2. P(zwart OF pion)
= P(zwart) + P(pion) - P(zwart én pion)
= 1/2 + 16/32 - 8/32
= 24/32
= 3/4
       
3. Omdat de kans op kop en munt gelijk is (50% beiden) is de kans op precies 3 keer kop gelijk aan de kans op precies 2 keer kop (want dat is 3 keer munt)
P(3 keer kop OF 2 keer kop) = 0,3125 + 0,3125 = 0,625
       
4. P(eerste) = 1/12
P(tweede) = P(eerste niet EN tweede wel) = 11/12 • 11/11 = 1/12
P(derde) = P(eerste niet EN tweede niet EN derde wel) = 11/12 • 10/11 • 1/10 = 1/12
P(eerste OF tweede OF derde) = 1/12 + 1/12 + 1/12 = 1/4
       
5. P(ziek OF meisje) = P(ziek) + P(meisje) - P(ziek EN meisje)
= 0,3 + 0,55 - 0,25 • 0,55 = 0,685
       
6. a. Het systeem gaat alleen af als alle drie de melders afgaan.
P(1wel en 2 wel en 3 wel) = 0,06 • 0,06 • 0,06 = 0,000216
       
  b. 0,06 • 0,06 • 0,06 • .....  < 0,000001
Dat is na 5 keer al zo:  0,065 = 0,00000078
Je moet er minstens 5 achter elkaar schakelen.
       
  c. Het systeem reageert nu wel als minstens één van allen afgaat.
Het systeem reageert niet als alle drie niet afgaan.
(1 niet en 2 niet en 3 niet) = 0,083 = 0,000512
       
  d. P(ongewenst alarm) = P(1 wel OF 2 wel OF 3 wel) = 0,08 + 0,08 + 0,08 = 0,24
       
  e. Noem de linker twee nummers 1 en 2 en de rechter nummer 3.

ongewenst:
P(ongewenst) =  P(1 of 2) en 3)) = (P(1 wel) + P(2 wel))• P(3 wel)
= (0,06 + 0,06) • 0,06 = 0,0072

niet terwijl het wel moet:
P(niet terwijl het moet) = P((1 niet en 2 niet) of 3 niet) = P(1 niet) • P(2 niet) + P(3 niet)
=  0,08 • 0,08 + 0,08 = 0,0864
       
7. a. P(verschillend vijver 1) = P(gewoon - sluierstaart) + P(sluierstaart - gewoon) =  0,90 • 0,10 + 0,10 • 0,90 = 0,18
P(verschillend vijver 2) = P(gewoon - sluierstaart) + P(sluierstaart - gewoon) =  0,50 • 0,50 + 0,50 • 0,50 = 0,50
dus Div1 is inderdaad kleiner dan Div2
       
  b. Bereken eerst de kans op twee dezelfde vissen:
P( 2 dezelfde) = P(2 gewoon) + P(2sluierstaart) + P(2hemelkijker) + P(2leeuwekop)
= 0,30 • 0,30 + 0 + 0,50 • 0,50 + 0,30 • 0,20 = 0,38
Dan is de kans op twee verschillende  1 - 0,38 = 0,62
Dus is Div4 = 0,62
       
  c. Het is dezelfde berekening als vraag b) maar nu met alle kansen gelijk aan 0,25.
0,25 • 0,25 + 0,25 • 0,25 + 0,25 • 0,25 + 0,25 • 0,25 = 0,25
Dan is Div = 1 - 0,25 = 0,75
       
  d. Zelfde berekening als in vraag c)  nu is de kans steeds  1/n  en er staan n zulke kansen.
Dat geeft  Div = 1 - n • (1/n)•(1/n)
Dat is nog te vereenvoudigen:
Div = 1 - n • 1/n2 = 1 - 1/n
       
8. a. De keten werkt als ze allemaal werken.
P(A en B en C en D en E) = 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 = 0,95 = 0,59049
Dat is inderdaad ongeveer 0,6
       
  b. Het systeem werkt als de bovenste rij werkt OF de onderste (of beiden)
P(boven OF onder) = P(boven) + P(onder) - P(onder EN boven) = 0,6 + 0,6 - 0,6 • 0,6 = 0,84
       
  c. Een onderdeel (twee met dezelfde letter) werkt als één van beide delen werkt (of beiden)
P(één van beiden werkt ) = P(eerste werkt) + P(tweede werkt) - P(eerste EN tweede werken)
= 0,9 + 0,9 - 0,9 • 0,9 = 0,99

De keten werkt als alle onderdelen werken:
P(keten werkt) = 0,995 = 0,9510
       
9. a. Het eerste kaartje doet er niet toe.
Het tweede kaartje moet het zelfde zijn als het eerste. Daarvan is er nog maar één tussen de overgebleven 15. De kans is daarom 1/15.
       
  b. Eerste kaart doet er niet toe (kans 1), tweede moet dezelfde zijn, derde doet er niet toe, vierde moet dezelfde zijn, enz.
Geeft een kans  1 • 1/7 • 1 • 1/5 • 1 • 1/3 • 1 • 1 = 1/105 ≈ 0,0095
       
  c. 4 • 3 • 2 • 1 = 24 mogelijkheden.
       
  d. strategie 1.
De kans dat het tweede plaatje ook een vierkant is, is 1/3.

strategie 2
Als de eerste kaart een vierkant is heeft hij al gewonnen. De kans daarop is 1/3.

Als de eerste kaart een driehoek is (kans 2/3) heeft hij nog een kans dat de tweede kaart ook een driehoek is, de kans daarop is 1/2. Dat geeft totale succeskans 2/3 • 1/2 = 1/3

Samengenomen heeft strategie 2 kans 1/3  + 1/3 = 2/3 om te slagen.
       
10. W5 kan op drie manieren gekozen worden:
• direct als eerste:  P = 1/6
• als eerste W6 en daarna verplicht W5:  P = 1/6
• als eerste W4 en daarna kiezen voor W5:  P = 1/6 • 1/2
De totale kans wordt daarmee 1/6 + 1/6 + 1/6 • 1/2 = 5/12
       
11. a. P(3 van de 4 JA/NEE goed) = P(GGGF) + P(GGFG) + P(GFGG) + P(FGGG) =  4 • 0,54 = 0,25

2 van de 4 JA/NEE goed is bijv.  GGFF en dat kan op 4 nCr 2 = 6 manieren, dus kans  0,54 • 6 = 0,375
P(2 van de 4 JA/NEE  én de driekeuze vraag) = 0,375 • 1/3 = 0,125

P(slagen) = 0,25 + 0,375 = 0,375
       
  b. P(na 4 keer niet) = P(NNNN) = p • p • p • p = 0,11  (daarbij is p de kans per keer dat je NIET slaagt)
p4  = 0,11 geeft  p = 0,111/4 = 0,5759
Dus is de kans dat je WEL slaagt per keer  1 = 0,5759 ≈ 0,42
       
12. a. P(iemand wordt supercentenarian)
= P(95 worden EN 100 worden EN 105 worden EN 110 worden)
= P(95 worden) • P(100 worden) • P(105 worden) • P(110 worden)
= 0,27 • 0,13 • 0,11 • 0,09 
= 0,00034749
       
  b. De kans dat hij WEL supercentenarian wordt is 0,11 • 0,09 = 0,0099
De kans dat hij het NIET wordt is dan  1 - 0,0099 = 0,9901

of:
P(hij wordt NIET 110)
= P(hij wordt niet 105) + P(hij wordt wel 105 maar niet 110)
= (1 - 0,11) + 0,11 • (1 - 0,09)
= 0,89 + 0,1001 = 0,9901
       
13. Draai de zaak om!
B moet in ieder geval een even aantal gooien, en "daarna" moet A ook nog eens precies de helft daarvan gooien

P(B even ) = 1/2
P(A daarvan de helft) = 1/6  (er is maar één goede mogelijkheid)
P(beiden) = 1/2 • 1/6 = 1/12
       
14. P(A gooit 3) = 1/6
P(B gooit 3) = 2/36   namelijk (2,1) en (1,2)
P(beiden gooien 3) = 1/6 • 2/36 = 1/108
       
15. a. P(Warren wint) = P(4rood-3 blauw) = 5/6 • 5/6 = 25/36
       
  b. Bill wint op de volgende manieren:
A. Warren gooit 2
B. Warren gooit 5 en Bill gooit 10 of 7   (dus  W(5) en B(55 of 52))
C. Warren gooit 8 en Bill gooit 10

De kansen daarop zijn
A.  1/36
B.  10/36 • (3/6 • 3/6 + 3/6 • 3/6 • 2) = 5/24
C.  25/36 • 3/6 • 3/6 = 25/144
Samen is dat 59/144
       
16. a. P(niet opgemerkt EN niet opgemerkt EN niet opgemerkt) = 0,4 • 0,4 • 0,4 = 0,064
       
  b. P(I) = 0,064  (vraag a)
P(II) = P(WNN) + P(NWN) + P(NNW) = 3 • 0,6 • 0,4 • 0,4 = 0,288
P(III) = P(WWN) + P(WNW) + P(NWW) = 3 • 0,6 • 0,6 • 0,4 = 0,432
P(III) = P(WWW) = 0,6 • 0,6 • 0,6 = 0,216
Dus categorie II zal de meeste exemplaren bevatten.
       
  c. Als 60% gelijk is aan  450 vogels (de eerste ronde)  dan is 100% gelijk aan 750 vogels.
P(derde ronde voor het eerst) = P(NNW) = 0,4 • 0,4 • 0,6 = 0,096
Dat zullen dan  750 • 0,096 = 72 vogels zijn.
       
17. P(te lezen) = P(niet) OF  P(zeer licht En te lezen) OF  P(licht EN te lezen) OF P(zwaar EN te lezen)
P(niet) = 1 - 0,15 - 0,08 - 0,05 = 0,72
P(zeer licht en te lezen) = 0,15 • 0,60 = 0,09
P(licht en te lezen) = 0,08 • 0,35 = 0,028
P(zwaar en te lezen) =  0
P(te lezen) = 0,72 + 0,09 + 0,028 = 0,838
       
18. a. Er zijn 14 bananenkaarten van de 56 kaarten
P(BBBB) = 14/56 • 13/55 • 12/54 • 11/53 = 0,0027
       
  b. P(5) = P(1 + 4) + P(2 + 3) + P(3 + 2) + P(4 + 1) + P(5 + 0) + P(0 + 5)
P(1 + 4) = 5/56 • 2/55 = 10/3080
P(2 + 3) = 3/56 • 3/55 = 9/3080
P(3 + 2) = 3/56 • 3/55 = 9/3080
P(4 + 1) = 2/56 • 5/55 = 10/3080
P(5 + 0) = 1/56 • 42/55 = 42/3080 (er zijn 42 kaarten zonder pruim)
P(0 + 5) = 42/56 • 1/55 = 42/3080
Samen is dat 122/3080 = 0,0396
       
19. a. P(NNN) = 5/6 • 5/6 • 5/6 = 125/216
       
  b. P(groen) = P(2 of 3) = P(2) + P(3)
P(2) = WWN + P(WNW) + P(NWW) = 1/6 • 1/6 • 5/6 + 1/6 • 5/6 • 1/6 + 5/6 • 1/6 • 1/6 = 15/216
P(3) = WWW = 1/6 • 1/6 • 1/6 = 1/216
Samen geeft dat kans 15/216 + 1/216 = 16/216 = 2/27   (= 0,074)
       
  c. P(WWW) = 1 • 5/6 • 4/6 = 20/36 = 5/9  (= 0,55)
       
  d. De mogelijkheden zijn:
NNWW
NWNW
WNNW
(bij alle andere mogelijkheden heeft hij al eerder alle kleuren op zijn torentje)

P(NNWW) = 4/6 • 4/6 • 2/6 • 1/6 = 32/1296
P(NWNW) = 4/6 • 2/6 • 5/6 • 1/6 = 40/1296
P(WNNW) = 2/6 • 5/6 • 5/6 • 1/6 = 50/1296
De totale kans is dan  122/1296   (= 0,0941
       
20. P(product negatief) = P(negatief - positief) + P(positief - negatief)
= 3/6 • 2/6 + 2/6 • 3/6 = 1/3
       
21.

       
  1/4 • 1/4 + 1/4 • 2/4 + 1/4 • 3/4 + 1/4 • 1  = 5/8
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)