© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. P(minstens 2 op dezelfde dag = 1 - P(allemaal op een verschillende dag)
P(allemaal verschillend) = 1 • 364/365 • 363/365 • ... • 336/365 = 0,2937
P(minstens 2 op dezelfde dag) = 1 - 0,2937 = 0,7063
       
2. Zie het begin van de kansboom hiernaast

P(elkaar tegenkomen) = P(1e ronde) + P(niet in eerste, beiden winnen, wel in 2e) + .....

=  1/31    (in eerste ronde)
+ 30/31 • 1/4 • 1/15   (in tweede ronde)
+ 30/31 • 1/4 • 14/15 • 1/4 • 1/7  (in derde ronde)
+ 30/31 • 1/4 • 14/15 • 1/4 • 6/7 •  1/4 •  1/3  (in vierde ronde)
+ 30/31 • 1/4 • 14/15 • 1/4 • 6/7 • 1/4 •  2/3 • 1/4 • 1 (in finale)
= 0,03226 + 0,01613 + 0,00806 + 0,00403 + 0,00202
Daar komt 0,0625 uit.

Het kan ook zo:
  De kans is voor iedereen gelijk: het probleem is symmetrisch.
Er worden 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31 wedstrijden gespeeld met 2 spelers, dus 62 keer wordt er door een speler gespeeld.
Dat is gemiddeld 62/32 wedstrijden per speler.
De kans om de ander te treffen is elke keer 1/31 dus samen geeft dat  62/32 • 1/31 = 0,0625
       
3.

  En die kans is voor de andere groepen ook 0,000327
 		  
 

 
  Omdat de gebeurtenissen elkaar uitsluiten mag je de kansen optellen.
Samen geeft dat kans  4 • 0,000327 + 0,40523 = 0,4065
       
4. a. Zie de kansboom hiernaast. Rood staat het aantal gegooide zessen, blauw staan de kansen

P(0 zessen) = 3/6 + 2/6 • 5/6 = 7/9
P(meedelen) = 1 - 7/9 = 2/9
 

     
  b. P(1 zes) = 1/6 • 5/6 + 2/6 • 1/6 • 5/6 = 5/27
     
  c. P(speler heeft nul zessen) = 0,778
P(3 spelers hebben 8 spellen lang 0 zessen)
= P(24 keer nul zessen) = 0,77824 = 0,0024
       
  d. Je krijgt 1/3 van de pot als je 1/3 van het aantal zessen hebt gegooid.
Dat is  (1 van de 3) of (2 van de 6) of (3 van de 9)
Laten we de kans uitrekenen dat de eerste speler 1/3 van de pot krijgt:

= P(111) + P(120) + P(102) + P(222) + P(231) + P(213) + P(333)
= 0,1853 + (0,185 • 0,032 • 0,778) • 2 + 0,0323 +  (0,032 • 0,185 • 0,014) • 2 + 0,0143
= 0,0157
       
5. Het totaal aantal manieren om deze bomen te planten  is het aantal rijtjes AAAPPPPKKKKK
Dat zijn er (12 nCr 3) • (9 nCr 4) = 27720

Hoeveel rijtjes zijn er zonder twee kersenbomen naast elkaar?
plant eerst de appel- en perenbomen:  AAAPPPP kan op  7 nCr 3 = 35 manieren.
In het rijtje  •A•A•A•P•P•P•P•  staan 8 stippen waarvan je er 5 moet kiezen om een kersenboom te planten.
Dat kan op  8 nCr 5 = 56 manieren.
In totaal zijn er dus 35 • 56 = 1960 manieren om de bomen te planten zonder twee kersenbomen naast elkaar..

De kans is dan  1960/27720 = 0,0707
       
6. De kans op ιιn specifiek fullhouse, bijv.  66655  is  (1/6)5 • (5 nCr 3) = 0,001286
Hoeveel verschillende full-housen zijn er?
Voor het drietal zijn er  6 mogelijkheden, en daarna voor het tweetal nog 5, dus 6 • 5 = 30
De kans is dan 30 • 0,001286 = 0,0386
       
7. a. Er zijn 3 • 3 • 3 = 27 kubusjes, dus 27 • 6 = 162 zijvlakken
Daarvan zijn er 9 • 6 = 54 rood
Omdat elk vlakje even grote kans heeft bovenop te komen is de kans  54/162 = 1/3
       
  b. dan zijn er n3 kubusjes, dus 6n3 zijvlakken.
Daarvan zijn er  6n2 rood
De kans is dus 6n³/6n² = 1/n
       
8. Bereken de kans dat dat gebeurt met Bettie op de noordelijkste plaats.
Dan zijn er voor Anton en Connie twee mogelijkheden
Voor Diana en Erik ook 2 mogelijkheden, dus er zijn 2 • 2 = 4 gunstige mogelijkheden.
In totaal zijn er 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 mogelijkheden om plaats te nemen.
De kans is dus  4/120 = 1/30
Maar de kans  is voor elke plaats even groot, dus de totale kans dat Bettie tussen Anton en Connie zit is 5 • 1/30 = 1/6 

OF:
Voor de plaatsen naast Bettie moet je twee personen kiezen uit de 4. Dat kan op 4 nCr 2 = 6 manieren, dus de kans dat dat precies het tweetal Anton en Connie is is 1/6.
       
9. a. Zie de kansboom hiernaast
De takken met een rood kruis gaan fout, de rest gaat goed.

De kans is dan 0,5 • 0,5 • 0,5 • 3 =  3/8

       
  b. Zie hiernaast.
Het aantal gepast moet steeds groter of gelijk aan het aantal ongepast zijn, dus mag je niet boven de diagonaal van dit rooster komen.
Dat geeft de groene routes hiernaast. De roden zijn foute routes.
Aan de groene getallen zie je dat er 5 + 9 + 5 + 1 = 20 toegestane routes zijn van de 26 = 64 in totaal.

De kans is dus 20/64 dat er geen wisselproblemen zijn

       
  c. Met twee losse euro's bij zich schuift de hele groene figuur 2 hokjes omhoog.

Nu zijn er 9 + 19 + 15 + 6 + 1 = 50 van de 64 goed.

De kans dat er geen wisselproblemen zijn is  50/64

       
10. a. P(Italiλ wint) = P(Italiλ raak en Nederland mis) = 0,82 • 0,37 = 0,3034
P(Nederland wint) = P(Nederland raak en Italiλ mis) = 0,63 • 0,18 = 0,1134
P(geen beslissing) = 1 - 0,3034 - 0,1134 = 0,5832
     
  b. P(Italiλ wint na 1 serie) = 0,30
P(Italiλ wint na 2 series) = 0,58 • 0,30 = 0,174
P(Italiλ wint na 3 series) = 0,58 • 0,58 • 0,30 = 0,10092
Samen geeft dat kans  0,30 + 0,174 + 0,10092 = 0,5749
     
  c. P(Nederland wint ) =
0,11 + 0,58 • 0,11 + 0,582 • 0,11 + 0,583 • 0,11 + 0,584 • 0,11 + .........
Noem deze kans K

K        =  0,11 + 0,58 • 0,11 + 0,582 • 0,11 + 0,583 • 0,11 + 0,584 • 0,11 + .........
0,58K =             0,58 • 0,11 +  0,582 • 0,11 + 0,583 • 0,11 + 0,584 • 0,11 + 0,585 • 0,11.........
K - 0,58K = 0,11
0,42K = 0,11
K = 0,11/0,42 = 0,2619
     
11. Stel dar er 2n knikkers in de vaas zitten.

P(2 roden MET terugleggen) = 0,54 • (4 nCr 2) = 0,375

P(2 roden ZONDER terugleggen) =
(4 nCr 2) • n/2n • (n - 1)/(2n - 1) • n/(2n - 2) • (n - 1)/(2n - 3)

Voer die laatste kans in bij Y1 van de GR en kijk bij TABLE wanneer dat minder dan 0,385 is

Dat geeft n = 39 dus bij 78 knikkers in de vaas
     
12. Leg de 36 niet-plaatjes op een rij.  Dat kan op 36! = 3,72 • 1041 manieren.
Dan zijn er 37 plaatsen waar een plaatje kan komen (de tussenruimtes en voor en achteraan)
Daaruit kun je op 37 nCr 16 = 1,29 • 1010  een groepje van 16 kiezen waar de plaatjes komen.
De 16 plaatjes kun je tenslotte op 16! = 2,09 •1013 manieren op die plekken leggen.
Samen geeft dat  3,72 • 1041 • 1,29 • 1010 • 2,09 • 1013 = 1,00 • 1064  manieren.

Zonder voorwaarden zijn er in totaal  52! = 8,07 • 1067 manieren om een rij te maken.

De kans op een gunstige rij is dan  (1,00 • 1064) / (8,07 • 1067 ) =  0,12 • 10-3 = 0,00012  
     
13. a.
    Kan op vier keer geen blauw (van de 10 keer)  is dan  binompdf(10, 1/12, 4) = 0,0060
     
  b. Als er evenveel gele als rode achterblijven is er ιιn gele meer dan rode getrokken.
Dat kan op 2 manieren :  (2 gele, 1 rode, 1 blauwe)  of  (1 gele, 0 rode, 3 blauwe)
   
     
  c. P(3 geel, 3 rood, 4 blauw)
= 0,23 • 0,33 • 0,54 • (10 nCr 3) • (7 nCr 3)
= 0,0567
     
14. a. P(som kleiner dan 11)
= P(123 of 124 of 125 of 126 of 127 of 234 of 235)  en dat zijn 7 mogelijkheden.
In totaal zijn er 12 nCr 3 = 220 mogelijkheden
De kans is daarom  7/220
     
  b. Voor 3 opeenvolgende nummers zijn er n - 2 mogelijke drietallen.
in totaal zijn er  (n  nCr 3) drietallen
de kans is dan  (n - 2)/(n  nCr 3)
Invoeren in de GR bij Y1 en dan bij TABLE kijken wanneer 0,01 is. 
Dat geeft  n = 25

Maar in 1984 deden ze dat vast algebraοsch!! Dat gaat zσ:
   
    Als dat 1/100 is, dan is  600 = n (n - 1)
n2 - n - 600 = 0
(n - 25)(n + 24) = 0
n = 25   (of n = -24 maar die valt af)
     
  c.
   
    van de vijf keer moet de eerste 2 keer voorkomen en de tweede 3 keer.
Dat geeft kans  (1/5)2 • (3/10)3 • (5 nCr 2) = 0,0108
     
15. a. Omdat het aantal M&M heel groot is zal het feit dat er al eentje is getrokken niet veel invloed hebben op de kansen bij de volgende M&M. Die kansen zullen ongeveer gelijk blijven.
     
  b. P(10 oranje) = 0,2010  · 0,80400   · (50 nCr 10) = 0,1398
     
  c. vaasmodel: er zijn 10 blauwen en 40 niet-blauwen.
   
       
16. a. Voor €80  moet je 2 briefjes van €20 en 4 briefjes van €10 pakken

Methode 1.
per portemonnee is de kans op €20 gelijk aan 4/16 = 1/4
De kans op 2 van de zes is dan  binompdf(6, 1/4, 2) = 0,8306

Methode 2.
dit is een vaasmodel.

   
    Het verschil is  0,8306 - 0,3709 = 0,4597
       
  b. Uit ιιn portemonnee kun je  20 of 30 of 40 euro halen.
     
   

   

    P(40) = 1 - 0,55 - 0,40 = 0,05  
       
    Voor de drie portemonnees geldt nu:
P(80 totaal) = P(20, 20, 40) + P(30, 30, 20)
= 3 • 0,55 • 0,55 • 0,05  +  3 •  0,40 • 0,40 • 0,55 = 0,3094
       
    gemiddelde:  1 • 1/2 + 2 • 1/4 + 4 • 1/8 + 8 • 1/16 + 16 • 1/32 + 0 • 1/64 = 2,5 roebel.