Š h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a. ln4x = 2
4x = e2
x = 1/4e2
       
  b. ln(x + 6) = 2lnx
ln(x + 6) = lnx2
x + 6 = x2
x2 - x - 6 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x = 3 ∨ x = -2
x = -2 valt af, want daarvoor bestaat lnx niet. Dus blijft over x = 3
       
  c. ln(Öx) = lnx + 2
lnx0,5 - lnx = 2
0,5lnx - lnx = 2
-0,5lnx = 2
lnx = -4
x = e-4
       
  d. 3lnx = lnx + 2
3lnx - lnx = 2
2lnx = 2
lnx = 1
x = e
       
  e. 2 • ex = 6
ex = 3
x = ln3
       
  f. elnx = 3x - 8
x = 3x - 8
8 = 2x
x = 4
       
  g. 2 + lne2 = lnx
2 + 2 = lnx
4 = lnx
x = e4
       
  h. lnx + ln2x = ln(x + 1)
ln(x • 2x) = ln(x + 1)
2x2 = x + 1
2x2 - x - 1 = 0
ABC formule geeft dan x =  (1 ą√(1+8))/4
x = 1 ∨  x = -0,5
x = -0,5 valt af, want daarvoor bestaat ln2x niet. Dus blijft over x = 1
       
  i. ex - 1 = 4
x - 1 = ln4
x = 1 + ln4
       
  j. ln(e/x) = 3 + lnx
ln(ex-1) = 3 + lnx
-lnx + lne = 3 + lnx
-2lnx = 2
lnx = -1
x = 1/e
       
  k. ln(e2x + 1) = x - 5
e2x + 1 = ex - 5
2x + 1 = x - 5
x = -6
       
  l. e2x + 2 = 3ex 
(ex)2 + 2 = 3ex
(ex)2 - 3ex + 2 = 0
(ex - 2)(ex - 1) = 0
ex = 2  ∨   ex = 1
x = ln2  ∨  x = ln1 = 0  
       
2. a. J = 15,  I = 2,5 geeft:
2,5 = 0,245 • e1,488L + 0,0119 • 15 • L
2,5/0,2345 = e1,488L + 0,1785L
10,66 = e1,6665L
ln10,66 = 1,6665L
2,3665 = 1,6665L
L = 1,42 meter    
       
  b. I = 0,245 • e1,488 • L + 0,0119 • L • J
I = 0,245 × e1,488 × 1,60 + 0,0119 × 1,60 × J 
I = 0,245 × e2,3808 + 0,01904 × J 
I  = 0,245 × e2,3808 ×  e0,01904 × J 
I = 2,649...×  e0,01904 × J 
       
  c.  I = 2,65 × e0,01904 × J 
1/2,65 × I = e0,01904 × J
0,377 ×  I = e0,01904 × J
ln(0,377 × I) = 0,01904 × J
ln(0,377) + ln(I) = 0,01904 × J
-0,97... + ln(I) = 0,01904 × J
1/0,01904(-0,97 + ln(I) ) = J
52,52(-0,97  + 52,52ln(I)) = J
51,18 + 52,52ln(I) = J
a = 51,2  en  b = 52,5
       
3. a. 400 en 3500 invullen:    3500 = k • ln400   k = 3500/ln400 = 584,16
nnieuw = 584,16 • ln(2A)
nnieuw = 584,16 • (ln(2 + lnA)
nnieuw =  405 + 584,16 × lnA
nnieuw =  405 + noud   dus dat is inderdaad ongeveer 400 groter.
       
  b. 400 en 3500 invullen:    3500 = k • ln400   k = 3500/ln400 = 584,16
De nieuwe situatie wordt n = 2800;
2800 = 584,16 • lnA
lnA = 4,79
A = e4,79 = 120 km2
Dan is er 400 - 120 = 280 km2 gekapt en dat is 280/400 • 100% = 70%
       
4. a. x = 0  geeft  D = a  en we kunnen aflezen dat dus moet gelden  a = 25000
Het tweede punt invullen:  10000 = 25000•e-4b 
e-4b = 0,4
-4b = ln(0,4) = -0,9162....
Daaruit volgt  b = -0,9162.../-4 = 0,22907...  ofwel  b = 0,23
       
  b. ln(D) = 10 - 0,2x dus  D = e10 - 0,2x  = e10 • e-0,2x = 22026,46... • e-0,2x
en 22026,46... is bij benadering 22000 
       
5. a. 100 = 200 - 180 • e-0,29t 
⇒  -100 = -180 • e-0,29t   
⇒  e-0,29t = 100/180 
⇒  -0,29t = ln(100/180) ģ -0,588
⇒  t = -0,588/-0,29 ≈ 2,0268 uren en dat is  2,0268 • 60 = 121,6 minuten
Dus ongeveer 2 minuten over 5  (17:02) wordt het opwarmen gestopt.
       
  b. S'(t) = -180 • e-0,29t • -0,29 = 52,2 • e-0,29t
S'(1) = 39,059 ēC/uur en dat is 0,65 ēC/minuut dus ongeveer 0,7 ēC/minuut.
       
  c. S - 200 = -180 • e-0,29t  ⇒  (S - 200)/-180 = e-0,29t