© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
       
1. a. un = un - 1 + 14 met u0 = 12   geeft directe vergelijking  un = 12 + 14n
met u1 = 12 geeft dat  un = -2 + 14n
       
  b. un = un - 1 • 1,5  met u0 = 40  geeft directe vergelijking  un = 40 • 1,5n  
met u1 = 40 geeft het  un = 262/3 • 1,5n
       
2. a. 256 • r12 = 512  dus  r12 = 2  en dan is  r = 21/12 = 1,059
u1 = 256  dus  u0 =  256/1,059 = 241,63
Dat geeft  un = 241,63 • 1,059n   
       
  b. De A is nummer 10, dus  u10 = 241,63 • 1,05910 =  430,5 Hz
       
3. a. u4 • r3 = u7
162 • r3 = 4374
r3 = 4374/162 = 27
r = 3

u9 = u7 • r2 = 4364 • 32  = 39276
       
  b. u4 + 3a = u7
162 + 3a = 4374
3a = 4212
a = 1404

u9 = u7 + 2a = 4374 + 2 • 1404 = 7182
       
4. a. N(n) = N(n - 1) = 20  met  N(1) = 320

N(n) = 20n + 300
       
  b. L(n) = 1,02 · L(n - 1) met  L(1) = 51

L(n) = 50 · 1,02n 
       
  c. T(n) = L(n) * N(n)  met  T(1) = 16320

T(n) = (20n + 300)*50*1,02n
       
  d. Dat zal zijn bij n = 20, dus in 2043
       
5. a. tellers:  steeds  +3 dus een rekenkundige rij met beginwaarde T1 = 4 
en dan is de directe formule  Tn =  1 + 3n

noemers:  steeds  +5 dus een rekenkundige rij met beginwaarde N1 = 9 
en dan is de directe formule  Nn =  4 + 5n
       
  b. Bn =  T/N = (1 + 3n)/(4 + 5n)
       
  c. Als n groter wordt, gaat dit langzaam naar 3/5 toe want de 1 en de 4 doen er dan niet zoveel meer toe.
Y1 = (1 + 3X)/(4 + 5X)
Kijk in de tabel wanneer dat groter dan 0,59 wordt.
Dat is voor het eerst bij n = 28
Vanaf n = 28 verschilt un  minder dan 0,01 van de grenswaarde 0,6.
       
6. Omdat de grote wijzer van een klok sneller loopt dan de kleine wijzer haalt hij de kleine wijzer af en toe in.
Op tijdstip t = 0 is het precies 0:00 uur.

De tijdstippen waarop beide wijzers precies op dezelfde plaats staan vormen een rekenkundige rij met  recursieformule  tn = tn-1 + 720/11  waarbij t in minuten is gegeven.

       
  a. Toon aan dat dat juist is.  
       
  b. Geef een directe formule voor deze rij  
         
7. Papierformaten zijn niet zomaar gekozen....
Als je een kopietje op A4-papier wilt vergroten naar A3-formaat, dan moet dat A3-papier natuurlijk wel dezelfde verhoudingen hebben als het  A4 papier, anders zou de "vorm" van je plaatje veranderen.
  Verder zijn de papierformaten zσ gekozen dat  de lengte van een volgend formaat steeds gelijk is aan de breedte van de vorige. Hiernaast zie je hoe een vel A0-papier is onderverdeeld in steeds kleinere formaten.

     
  a. Als een formaat lengte L en breedte B heeft, dan heeft het volgende formaat dus lengte B en breedte 1/2L.
Laat zien dat daaruit, en uit de gelijkvormigheid van het papier, volgt dat de afmetingen van de verschillende formaten een meetkundige rij vormen met factor √2.
         
  Omdat geldt  L = B√2 en omdat A0 papier een oppervlakte van 1 m2 heeft kun je aantonen dat de afmetingen van A0-papier 1189 bij 841 mm zijn.
         
  b. Geef die afleiding.
       
  c. Geef een directe formule voor de lengte van An-papier.
         
  Ook de oppervlaktes van de opeenvolgende papiersoorten vormen een meetkundige rij.
Daarvoor geldt natuurlijk  On = 1/2 • On-1  met  O0 = 1
         
  d. Onderzoek met deze formule en je GR welk papiernummer voor het eerst een oppervlakte kleiner dan 1 mm2 heeft.
       
  e. Geef een directe formule voor On  en controleer daarmee je antwoord op vraag d).
         
8. Drie opeenvolgende termen van een meetkundige rij hebben som 13/4 en product 1/8.
       
  a. Welke drie termen zijn dat?
       
  b. En hoe is dat als de rij rekenkundig is?
         
9. x, y, z is dan de rij  x, rx, r2x
x, 2y, 3z is dan de rij   x, 2rx, 3r2x  en dat moet rekenkundig zijn.
Dus moet gelden   2rx - x  = 3r2x - 2rx
x(2r - 1) = x(3r2 - 2r)
2r - 1 = 3r2 - 2r     (we laten de flauwe oplossing  x = y = z = 0 buiten beschouwing)
3r2 - 4r + 1 = 0
ABC-formule:  r = (4 ± √(16 - 12))/6 = (4 ± 2)/6  = 1  of  1/3
       
10. De eerste drie termen zijn u1, u1 + a  en  u1 + 2a
Dat is samen 12, dus  3u1 + 3a = 12  dus  u1 + a = 4  dus  u1 = 4 - a

u1 - u2 - u6  is het rijtje   u1  en  u1 + a  en  u1 + 5a
Dat is meetkundig, dus   (u1 + a)/u1  =  (u1 + 5a)/(u1 + a)   
Dat geeft  (u1 + a)(u1 + a) = (u1 + 5a) • u1
Gebruik nu dat u1 = 4 - a, dan vind je:    16 = (4 + 4a)(4 - a)
16 = 16 + 12a - 4a2
4a2 - 12a = 0
4a(a - 3) = 0
a = 0  ∨  a = 3

a = 0  geeft het rijtje  4 - 4  - 4  - .....  en dan is u10 = 4
a = 3 geeft het rijtje:   1 - 4 - 7 - 10 - ..... en dan is u10 =  28
       
11.  u(n) = 92-n • 4n + 1 
=  92 • 9-n • 4n • 41
=  81 • (9-1)n • 4n • 4
=  324 • (9-1 • 4)n
= 324 • (4/9)n 

Dat is inderdaad de directe formule voor een meetkundige rij, met   B = 324  en  r = 4/9
       
12. de factor tussen 51/2 en 51/3  is  5-1/6
De factor tussen 51/3 en 51/6  is weer 5-1/6
De volgende term is dus 51/6 •  5-1/6 = 1
       
13. a. kijk alleen naar de vrouwtjes:
maand 0:  20
maand 1:  20 oud + 100 nieuw = 120 totaal
maand 2:  120 oud + 600 nieuw = 720 totaal
elke keer wordt vermenigvuldigd met 6, dus is de rij meetkundig en de reden is r = 6
       
  b. Er zijn steeds evenveel mannetjes als vrouwtjes, dus het totaal aantal is altijd het dubbele van het aantal vrouwtjes.
Als iets met 6 wordt vermenigvuldigd, dan wordt het dubbele daarvan σσk met 6 vermenigvuldigd!
       
  c. Met A ratten zijn er 0,5A vrouwtjes
Die krijgen 0,5A • N nakomelingen
Het nieuwe aantal ratten is dan  A + 0,5AN = A • (1 + 0,5N)
Dus  An = An - 1 • (1 + 0,5N)
De reden is (1 + 0,5N) en de beginwaarde is B.
Dan is een directe formule  An = B • rn = B • (1 + 0,5N)n
       
  d. De nestgroottes worden steeds met 5 vermenigvuldigd, dus de reden van de rij is 5.
Dan is 1 + 0,5N = 5
Dat geeft  N = 8