1

			© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

meting	<35	35-42	42-49	49-56	56-63	63-70	>70
rechterklassengrens	35	42	49	56	63	70	-
frequentie	9	128	514	611	215	22	1
cum freq.	9	137	651	1262	1477	1499	1500
cum. freq. (%)	0,6	9	43	84	98	99,9	100

zie de rode lijn in de figuur hieronder.
dat ligt aardig op een rechte lijn, dus dat zal wel een normale verdeling zijn.

meting	0-8	8-16	16-24	24-32	32-40	40-48	48-56	56-64	64-72
rechtergrens	8	16	24	32	40	48	56	64	72
frequentie	6	9	45	540	1200	600	300	180	120
cum.freq,	6	15	60	600	1800	2400	2700	2880	3000
cum freq (%)	0,2	0,5	2	20	60	80	90	96	100

zie de blauwe stippen in de figuur hieronder.
Daar gaat geen rechte lijn door dus dit zal geen normale verdeling zijn.

L1 = 15, 25, 35, ..., 95
L2 = 2.2, 4.9, 10.1, ..., 4.6
stat-calc-1Vat Stats (L1m L2) geeft
gemiddelde 57,88 en standaarddeviatie 18,6

meting	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100
rechtergrens	20	30	40	50	60	70	80	90	100
frequentie (%)	2,2	4,9	10,1	16,5	20,5	19,5	14,0	7,7	4,6
cum. freq.	2,2	7,1	17,2	33,7	54,2	73,7	87,7	95,4	100

dat geeft op normaal waarschijnlijkheidspapier:

μ aflezen bij 50% en dat is ongeveer 58.
σ aflezen tussen 84% en 50% en dat is ongeveer 19.

Als 21% zwaarder is dan 69 gram dan is dus 79% lichter dan 69 gram.
De lijn op normaalpapier gaat door (69, 79) en (58, 8). Dus dat ziet er zó uit:

Dat geeft μ = 64,9 en σ = 4,1 zoals je in de figuur hierboven kunt zien.

91% heeft minder dan 215, dus de lijn moet door punt P(215, 91%) gaan.
Teken een willekeurige lijn met σ = 15. De groene lijn (tussen 50% en 84% een breedte 15)
Teken dan door P de rode lijn evenwijdig aan de groene.
Aflezen bij 200 cm geeft 64%.

5.	De voedselgigant MACDONALDS heeft iets nieuws: de "Supermegamac". Deze hamburger is nog groter dan alle voorgaande, en verder geen flauwekul meer met groenvoer erop. Gewoon vlees, vlees en nog meer vlees met als enig toevoegsel een lekkere vette lading mayonaise. De consumentenman vertrouwt het zaakje niet, en controleert de supermegamacs nauwgezet. Uit de totale dagvoorraad van de MACDONALDS-vestiging in de Herestraat heeft men 250 supermegamacs onderzocht. Het aantal coli-bacteriën en deze macs is gemeten, en die blijken normaal verdeeld te zijn. Daarom worden de resultaten van deze proef op normaal-waarschijnlijkheidspapier weergegeven. Het blijkt een rechte lijn door (510,4) en (690,97) te worden.

	a.	Teken die lijn en geef met deze figuur een schatting van het aantal macs dat tussen de 525 en 660 bacteriën bevatte. Geef ook een schatting voor de standaarddeviatie van het aantal bacteriën


6.	Het gemiddelde vind je op de 50% lijn. Wennemars heeft het laagste gemiddelde en is dus B Van Velde is dan A en Nijenhuis is C Bos heeft gemiddelde net iets minder dan Nijenhuis, dus zal net links van Nijenhuis op de 50% lijn zitten. Als de standaarddeviatie kleiner is, loopt de lijn steiler. Bos heeft standaarddeviatie 0,4 dus zijn lijn loopt steiler dan die van Van Velde (A) maar vlakker dan die van Wennemars (B) Zie de figuur hiernaast.

Hamilton:

freq. per 1000 woorden	1-3	3-5	5-7	7-9	9-11	11-13
aantal teksten	2	7	12	18	4	5
cumulatief	2	9	21	39	43	48
cumulatief %	4,2	18,8	43,8	81,2	89,6	100
rechtergrens	3	5	7	9	11	13

Madison:

freq. per 1000 woorden	5-7	7-9	9-11	11-13	13-15	15-17	17-19
aantal teksten	5	7	8	16	6	5	3
cumulatief	5	12	20	36	42	47	50
cumulatief %	10	24	40	62	84	94	100
rechtergrens	7	9	11	13	15	17	19

Hamilton: μ = 7,4 en σ = 2,3
Madison: μ = 11,7 en σ = 3,5

lengte	<160	160-164	165-169	170-174	175-179	180-184	185-189	190-194	195-199	200 en meer
percentage	0,2	0,9	4,1	12,9	25,1	28,5	18,7	7,4	1,8	0,4
% cumulatief	0,2	1,1	5,2	18,1	43,2	71,7	90,4	97,8	99,6	100
rechtergrens	160,5	164,5	169,5	174,5	179,5	184,5	189,5	194,5	199,5	-

De rechtergrenzen zijn onder de aanname dat de lengtes afgerond zijn (en niet afgekapt).
Dat geeft op normaalpapier:

μ = 180,7 zou goed kunnen kloppen (blauw)
de standaarddeviatie (groen) is ongeveer 187,5 - 180,7 = 6,8

normalcdf(170, 193, 180.7, 6.8) = 0,9069 dus dat is ongeveer 91%

8,75 uur is 525 minuten en daar lees je af ongeveer 6,5%
11 uur is 660 minuten en daar lees ja af ongeveer 90%
Daartussen ligt dus ongeveer 83,5%

8,5 uur is 510 minuten
Y1 = normalcdf(0, 510, X, 50)
Y2 = 0,07
intersect geeft X = μ = 583,7

10.

De grafiek moet cumulatief en in procenten. De stippen moeten bij het einde van de klassen.
De grafiek gaat dan door de punten: (1.5 , 6) (3 , 12.5) (5 , 25.25) (7 , 43.25) (10 , 73.75) en (15 , 96.75)
De laatste klasse is niet te tekenen.
De grafiek wordt goed een rechte lijn dus de gegevens zijn bij benadering normaal verdeeld, kijk maar:

Het gemiddelde m is af te lezen bij 50% en is ongeveer 7,6 meter dus μ is ongeveer 76 dm
Bij 84% is μ + σ af te lezen. Dat is ongeveer 11,6 meter dus 116 dm. Dus σ is ongeveer 116 - 76 = 40 dm.

11.

Op normaal waarschijnlijkheidspapier staan de gegevens cumulatief en relatief (in procenten).
Omdat de gegevens cumulatief zijn staan de stippen bij de rechter klassengrenzen, dus bij 2,4 en 2,5 enz.
Dit wordt de tabel cumulatief relatief:

diameter	<2,4	2,4 - < 2,5	2,5 - < 2,6	2,6 - < 2,7	2,7 - < 2,8	³2,8
aantal	1	4	98	232	63	2
aantal cumulatief	1	5	103	335	398	400
aantal cumulatief relatief	0,25%	1,25%	25,75%	83,75%	99,5%	100%
rechtergrens	2,4	2,5	2,6	2,7	2,8	-

De onderste twee rijen geven op normaal waarschijnlijkheidspapier deze grafiek (de antwoorden van vraag b staan er ook al in):

Zie de figuur hierboven.
Het gemiddelde vind je bij 50% en is ongeveer μ = 2,62
μ + σ vind je bij 84% en dat is ongeveer 2,69, dus σ = 2,69 - 2,62 = 0,07

normalcdf(2.575, 2.700, 2.620, 0,048) = 0,7780
77,80% moet gelijk zijn aan 1200 ballen.
Dan is 100% gelijk aan ¹²⁰⁰/_77,80 • 100 = 1542 ballen.