1

		© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1.	a.	N(t) = 128 - 4 · 1,2^tAls t toeneemt.... dan neemt 1,2^t ook toe dan neemt 4 × 1,2^t ook toe dan neemt 128 - 4 × 1,2^t dus af Dus de grafiek van N daalt. Als t oneindig groot wordt dan wordt 1,2^t ook oneindig groot dan wordt N oneindig groot negatief dus aan de rechter kant is er geen grenswaarde Als t negatief oneindig groot wordt Dan gaat 1,2^t naar nul. Dus aan de linkerkant van de grafiek is er een grenswaarde N = 128

	b.

		Als a groter wordt..... dan wordt -2a groter negatief dan wordt 1,6^-12a kleiner (dichter bij nul) dan wordt 30 + 1,6^-2a kleiner (dichter bij 30) dan wordt P groter Dus de grafiek van P stijgt. Als a oneindig groot wordt Dan wordt de noemer gelijk aan 30 Dan gaat P naar 1500/30 = 50 P heeft dus grenswaarde P = 50

2a.	log(10A) = log(10) + log(A) = 1 + log(A) want log(10) = ¹⁰log(10) = 1 Dat is dus één meer dan log(A)

2b.	M = log(A) + 3 ^dM/_dA = M' = ¹/_(Aln10) = ¹/_2,3A Omdat A positief is, is M' ook positief dus de grafiek van M stijgt. Als A groter wordt, dan wordt de noemer van M' groter, dus wordt M' zelf kleiner. Het stijgen neemt dus af.

3a.	Met de quotiëntregel:

	Dit is de grafiek van N':

	De grafiek van N' is overal positief dus N is overal stijgend. Op het eerste deel neemt de waarde van N' toe, dus is er bij de grafiek van N toenemende stijging Op het tweede deel neemt de waarde van N' weer af, dus is de grafiek van N afnemend stijgend. De overgang bevindt zich bij de top van de grafiek van N' Çalc - maximum, geeft t = 14 dus dat is in 1994.

3b.	Als t oneindig groot wordt, dan wordt 0,834^t ongeveer 0 Dan wordt 12,9 • 0,834^t ook ongeveer 0, dus de noemer van de formule gaat naar 1. Dan gaat de hele breuk naar ²⁷⁸⁰/₁ = 2780. 5% onder die grenswaarde is 0,95 • 2780 = 2641 Y1 = 2641 Y2 = 2780 / (1 + 12,9 * 0,834^X) Intersect geeft X = t = 30,3 Dat is dus in het jaar 2010 (of in 2011: je weet niet precies op welk moment in het jaar er gemeten is)

4.	Als t groter wordt, dan wordt e^-0,3t steeds kleiner, en 87 • e^-^0,3t ookdus zal de noemer ongeveer gelijk aan 1 worden. M nadert dan naar 5,6 en zal dus steeds minder stijgen.

5a.	Als t oneindig groot wordt, dan wordt e^-0,00015t bijna nul Dus staat er in de noemer van de breuk o0ngeveer 1 dan is w ≈ 15 + ⁴/₁ = 19 meter, dus dat is de grenswaarde.

5b.	quotiëntregel:

	4 • 36 • 0,00015 is inderdaad gelijk aan 0,0216

5c.	Plot de grafiek van w' en kijk wanneer die een maximum heeft. calc - maximum geeft t = 23890 ²³⁸⁹⁰/₃₆₅ = 65,4 jaar na 1 jan 1900, dus dat was in 1965 Dat klopt niet met de werkelijkheid want van 1960 naar 1968 steeg het record maar 7 cm in 8 jaar, terwijl in 1968 het al binnen een jaar 22 cm steeg.

6a.	als T naar oneindig gaat, dan gaat -0,307 naar min-oneindig dan gaat e^-0,307T naar nul dan gaat de noemer naar 1 Dan gaat G naar ²²/₁ + 0 = 31 De grenswaarde is dus G = 31 gram

6b.	De afgeleide van e^-0,307T is -0,307 e^-0,307T (de -0,307 komt van de kettingregel) Dat geeft

	Invoeren inde GR en dan calc - zero Dat geeft T = 1,7 gram

7a.	Het vierde levensjaar loopt van t = 3 tot t = 4 Amerikaanse eik: h = 29,026 • (1 – 0,9790^t)^0,80820 h(3) = 3,055 en h(4) = 3,822 dus dat is een groei van 0,767 meter zomereik: h = 39,143 • ( 1 – 0,9867^t)^0,96667 h(3) = 1,717 en h(4) = 2,252 dus dat is een groei van 0,535 meter dat is een verschil van 0,232 meter en dat is 23,2 cm.

7b.	h‘ is positief. 0,9867^t is kleiner dan 1 1 - 09867^tis groter dan nul de noemer is dus ook groter dan nul, de hele breuk is dus ook groter dan nul. h' wordt kleiner: Als t groter wordt, wordt 0,9867^t kleiner dan wordt 1 – 0,9867^t groter dan wordt de noemer groter van de breuk wordt de teller kleiner en de noemer groter, dus de hele breuk wordt kleiner. De groei gaat dus steeds langzamer.

7c.	h(t) = a • (1 - 0,9867^t)^0,96667 6,18 = a • (1 – 0,9867¹⁰)^0,96667 6,18 = a • 0,1343 a = 46,02

7d.	h = 30,1 • (1 – 0,9656^t)^1,59980 t een heel groot getal geeft 0,9656^t = 0 dus 1 - 0,9656^t = 1 dus h = 30,1

7e.	t = 0 geeft 1 – b^t = 1 – 1 = 0 dan is h dus ook nul