|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||
 |
|||
| 1. |
 |
||
| in 1 seconde met 2 cm/s wordt die vector 2/5 keer afgelegd (met deze richtingsvector gaat het inderdaad naar rechts) | |||
 |
|||
| in 1 seconde met 4
cm/sec wordt die vector 4/13
keer afgelegd. (met deze richtingsvector gaat het inderdaad
omlaag) Daarom geldt op tijdstip t: |
|||
 |
|||
| De lengte daarvan is t • √( (162/65)2 + (-204/65)2 ) = 1/65t • √67860 (≈ 4t ) | |||
| 2. | P heeft op tijdstip t de coördinaten (4 + 4t, 0) | ||
 |
|
||
| R = (4 + 4t + 3, 6 + 6t) = (7 + 4t, 6 + 6t) | |||
 |
|||
| 3. | y = x met steunvector OP is de lijn: | ||
 |
|||
| (Die laatste
richtingsvector heeft lengte 1). Dus P = (10 - t/√2, 10 - t/√2) Q = (2 + t, 3) M is het gemiddelde van P en Q: M = (1/2(12 + t - t/√2), 1/2(3 + 10 - t/√2)) M = (6 + 1/2t - t/2√2, 61/2 - t/2√2) M = (6 + t(1/2 - 1/4√2), 61/2 - t • 1/4√2) |
|
||
 |
|||
| Dat is een rechte lijn. | |||
| 4. | a. |
 |
|
|
Oppervlakte is de lengte van deze vector in het kwadraat:
L2 = (2cost)2 + (-2 + 2sint)2 = 4cos2t + 4 – 8sint + 4sin2t = 8 – 8sint |
|||
| b. |
 |
||
|
Dat is een
cirkel met straal 2 en middelpunt (5, 4) Vanwege het minteken voor de 2sint wordt de cirkel met de klok mee doorlopen, en de omlooptijd is 2π. |
|||
| 5. |
 |
||
| 6a.. | a. | Twee vectoren staan loodrecht op elkaar als hun inproduct nul is. | |
 |
|||
| 2cost
• (2 + cost) + 2sint • sint = 0 4cost + 2cos2t + 2sin2t = 0 4cost + 2(cos2t + sin2t) = 0 4cost + 2 = 0 cost = -1/2 t = 2/3π ∨ t = 4/3π |
|||
| b. | P
= (2cost, 2sint) Q = (2 + cost, sint) rc PQ is (2sint - sint)/(2cost - 2 - cost) = sint/(cost - 2) PQ is de lijn y = sint/(cost - 2) • x + b (2cost, 2sint) ligt erop: 2sint = sint/(cost - 2) • 2cost + b b = 2sint - 2sintcost/(cost - 2) PQ is de lijn y = sint/(cost - 2) • x + 2sint - 2sintcost/(cost - 2) y = 0 geeft dan 0 = sint/(cost - 2) • x + 2sint - 2sintcost/(cost - 2) sint/(cost - 2) • x = -2sint + 2sintcost/(cost - 2) x = { -2sint + 2sintcost/(cost - 2)} • (cost - 2)/sint x = -2(cost - 2) + 2cost x = -2cost + 4 + 2cost x = 4 Dat is inderdaad onafhankelijk van t. |
||
| c. | P
= (2cost, 2sint) Q = (2 + cost, sint) M = (1.5cost + 1, 1.5sint) M ligt op cP als MP = 2, dus MP2 = 4 (1,5cost + 1)2 + (1,5sint)2 = 4 2,25cos2t + 3cost + 1 + 2,25sin2t = 4 2,25(cos2t + sin2t) + 3cost = 3 2,25 + 3cost = 3 3cost = 0,75 cost = 0,25 t ≈ 1,318... Tussen t = 0,723 en t = 1,318 ligt M aan de bovenkant buiten beide cirkels. Dat is 0,595 van de 2π De baan is symmetrisch t.o.v. de x-as dus er is nog eenzelfde deel aan de onderkant Dat is 2 • 0,595/2π • 100% = 18,94.... % Ongeveer 19%. |
||
| 7. | a. | ||
| b. |
(3cost – 3sint)2 + (3sint + 3cost)2
|
||
| 8. | a. | ||
| b. |
helling: x ' = -2sint + 4cost dus x '(0,5π) = -2 y ' = 2cost + 4sint dus y '(0,5π) = 4 de helling is 4/-2 = -2 dus a = tan-1(-2) = -63,43° tan-1(2) = 63,43° de hoek is dan 180 - 63,43 - 63,43 = 53,13° |
||
| 9. | a. | P = (5 +
2t, 4 + t) Q = (5, 0) |
|
 |
|||
 |
|||
| Dat voldoet inderdaad aan 2x + y = 18 | |||
| b. | PQ
= Ö(4t2 + (-4
- t)2) =
Ö(4t2 + 16 +
8t + t2) = Ö(5t2
+ 8t + 16) De oppervlakte is PQ2 en dat is inderdaad 5t2 + 8t + 16 |
||
| c. | minimum: PQ '= 0 geeft 10t + 8 = 0 dus t = -0,8 | ||
 |
|||
| Dat staat inderdaad loodrecht op de richtingsvector van l | |||
| d. | R ligt
op 2x + y = 18 l is de lijn -x + 2y = 3 dus x = 2y - 3 Het snijpunt is S: 2(2y - 3) + y = 18 geeft y = 4,8 dus S = (6.6, 4.8) dat ligt op l als 5 + 2t = 6,6 dus als t = 0,8 |
||
| 10. |
 |
||
| 11. | a. | Als de
afstand tot de x-as gelijk is, dan zijn de y-coördinaten
van P en Q gelijk. 4 - 4t2 = 4t t2 + t - 1 = 0 t = 1/2 ± 1/2Ö5 yP = yQ = 4t = 2 ± 2Ö5 omdat P onder de x-as ligt is yP = 2 - 2Ö5 |
|
| b. | v
= Ö(x ' 2 + y'
2) vP = Ö((16t)2 + (-8t)2) = Ö(320t2) = tÖ320 en op t = Ö5 is dat Ö1600 = 40 vQ = Ö(32 + 42) = 5 dus is inderdaad vP acht keer zo groot als vQ. |
||
| c. | Helling PQ = Dy/Dy
= (yQ - yP)/(xQ
- xP) (4t - 4 + 4t² )/(1 + 3t - 8t²) = 4/3 3(4t - 4 + 4t2) = 4(1 + 3t - 8t2) 12t - 12 + 12t2 = 4 + 12t - 32t2 44t2 = 16 t2 = 16/44 xP = 8t2 = 128/44 yP = 4 - 4t2 = 4 - 64/44 = 112/44 |
||
