© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
1. a. f(x) = x4 + 2x3 – 36x2 + 2 
f ' = 4x3 + 6x2 – 72x
f '' = 12x2 + 12x – 72 = 0
x2 + x – 6 = 0
(x – 2)(x + 3) = 0
x = 2 ∨ x = -3
In beide gevallen is er tekenwisseling bij f '' dus er is een buigpunt.
dat geeft de buigpunten (2, -110)  en  (-3, -223)
       
  b. f(x) = 2x√x – 3x2 + 8x = 2x1,5 – 3x2 + 8x
f '  = 3x0,5 – 6x
f '' = 1,5x-0,5 – 6 = 0
1,5x-0,5 = 6
x-0,5 = 4
x = 1/16
er is een tekenwisseling in f '' dus er is een buigpunt
dat geeft buigpunt  (1/16, 133/256)
       
  c.
    8x5 – 16x3 – 24x = 0
8x(x4 – 2x2 – 3) = 0
8x(x2 – 3)(x2 + 1) = 0
x = 0 ∨  x = √3  ∨  x = -√3
er is elke keer tekenwisseling in f ''  dus er zijn drie buigpunten.
dat geeft de buigpunten  (-√3, -√3)  en (0, 0)  en  (√3, √3)
       
  d. f(x) = x2 • (1 – √x) = x2 – x2,5
f ' = 2x – 2,5x1,5
f  '' = 2 – 3,75x0,5  = 0
2 = 3,75x0,5
x0,5 = 8/15
x = 64/225
er is een tekenwisseling in f '' dus er is een buigpunt
dat geeft buigpunt  (64/225, 32768/759375)
       
2.
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f <0 <0 <0 <0 <0 =0 >0 >0 >0 >0 >0
f ' <0 <0 <0 =0 >0 >0 >0 =0 <0 <0 <0
f '' <0 =0 >0 >0 >0 =0 <0 <0 <0 =0 >0
       
3.

       
  zoiets. De stippen komen overeen met de stippen op de tekenbeelden.
       
4. f(x) = 3x3 + 9x2 + 2x + c
f '(x) = 9x2 + 18x+ 2
f ''(x) = 18x + 18
Dat is nul als  x = -1
Dus als de functie dan zelf ook nul is dan is het buigpunt gelijk aan het nulpunt.
f(-1) = -3 + 9 - 2 + c = 0
c = -4  
       
5. a. x3 – 4x2 + 2x + 5
f ' =  3x2 – 8x + 2
f ' = 0  ⇒ (ABC)  x =  (8 ±√40)/6 = 4/3 ± 1/6√40  en daar midden tussenin ligt x = 4/3 
De toppen zijn ongeveer  (2.386, 0.583)  en   (0.279, 5.268)
Daar midden tussenin ligt  (4/3, 2.926)

f '' = 6x – 8   dus een buigpunt bij  x = 8/6 = 4/3    en dan is y = 2.926
Het buigpunt ligt inderdaad midden tussen beide toppen.
       
  b. De afstand is 21 – 2x – (x3 – 4x2 + 2x + 5)  en die is maximaal als de afgeleide daarvan nul is:
-2 – 3x2 + 8x – 2 = 0
3x2 – 8x + 4 = 0
x =  (8 ± √(16))/6 = 2 of  2/3
x = 2  geeft  afstand  16
x = 2/3  geeft afstand 400/27 = 14,81
De maximale afstand is 16
       
6. g(x) = x3 - 12x2 + 272
g '(x) = 3x2 - 24x
g ''(x) = 6x - 24
Dat is nul als x = 4  en het buigpunt is  (4, 144)

f(x) = x2 + 64Öx = x2 + 64x0,5 
f '(x) = 2x + 32x-0,5
f ''(x) = 2 - 16x-1,5
f ''(4) = 2 - 16 · 4-1,5 = 0  dus  x = 4  geeft voor f een buigpunt.
f(4) = 42 + 64Ö4 = 144

De buigpunten zijn dus gelijk.
       
7. a.

    Dat is nul als  6px - 24 = 0  dus  x = 4/p.
y is dan  (4 - 2)/(4/p)³ = 2 • (p/4)3 = 1/32• p3

y = x als   4/p = 1/32 • p3 
128 = p4
p = 1281/4    
       
  b. f ' = g '  geeft:    (-8x + 6)/x4  = -a/x²
-8x + 6 = -ax2

f = g  geeft:  (4x - 2)/x³  = a/x
4x - 2 = ax2

Samen geeft dat  4x - 2 = -(-8x + 6)
4x - 2 = 8x - 6
4 = 4x
x = 1

Dan is  4 • 1 - 2 = a • 12   ⇒  a = 2
Het raakpunt is het punt  (1, 2)  
       
  c. fp '(x) = 0  ⇒  -2px + 6 = 0   ⇒  x = 3/p
Dan is  y = 1/(3/p)³ = 1/27 • p3
OT = √(x2 + y2) = √(9/p² + 1/729• p6)
Dat is minimaal als dat deel onder de wortel minimaal is.

9/p² + 1/729• p6  is minimaal
De afgeleide daarvan is dan nul:    -18/p³ + 6/729 • p5 = 0
-18 + 6/729 • p8  = 0
6/729• p8 = 18
p8 = 18 • 729/6 = 2187
p = 21871/8 = 2,62
     
8. y = ax3 + bx2 + cx + d

y ' = 3ax2 + 2bx + c
dat is een parabool met twee nulpunten, en midden daartussen in ligt  x = -b/2a = -2b/6a = -b/3a  

y '' = 6ax + 2b en dat is nul als  x = -2b/6a = -b/3a

Het buigpunt ligt inderdaad midden tussen beide toppen.
     
9. f(x) = (x2 -  x)1/3
f ' (x) = 1/3 • (x2 -  x)-2/3 • (2x -  1)
f '' (x) = 1/3 • -2/3(x2 -  x)-5/3 • (2x -  1) • (2x -  1) + 1/3 • (x2 -  x)-2/3 • 2 = 0
1/3(x2 -  x)-5/3 • {-2/3 • (2x -  1)2 + 2/3 • (x2 -  x) } = 0
(x2 - x) = 0   ∨   2/3(-4x2 + 4x - 1 + x2 -  x) = 0
x(x -  1) = 0  ∨   -3x2 + 3x -  1 = 0
x = 0  ∨ x = 1  en dat laatste stuk heeft geen oplossing.
de buigpunten zijn  (0, 0)  en  (1, 0) 
     
10. a. f(x) = x4 - 4x3 - 18x2 - 8x - 2
f '  = 4x3 - 12x2 - 36x - 8
f ''  = 12x2 - 24x - 36 = 0
x2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x = 3  ∨ x = -1
Dat geeft de buigpunten  (-1, -7)  en  (3, -215)
     
  b. f(x) = x4 - 4x3 + 10x2 - 8x - 2
f '  = 4x3 - 12x2 + 20x - 8
f '' = 12x2 - 24x + 20 = 0
de discriminant is  242  - 4 • 12 • 20 = -384 dus dat heeft geen oplossingen
     
  c. Voor geen enkele!
f '' is een parabool, en als die precies één snijpunt met de x-as heeft, dan is er geen tekenwisseling, dus geen buigpunt.
     
11.
 
  Dat is 0 als   (2ax + 2a)(x + 1) - 2(ax2 + 2ax + 2) = 0
2ax2 + 2ax + 2ax + 2a - 2ax2 - 4ax - 4 = 0
2a - 4 = 0
a = 2 is dus de enige mogelijkheid.
 
  De grafiek is dan een rechte lijn en heeft geen buigpunt.
     
12. de rode is de oorspronkelijk f
de blauwe is f '  (is bijv. nul als de rode een maximum heeft)
de groene is f '' (heeft bijv. nulpunten bij de extremen van de blauwe)
     
13. de blauwe is de oorspronkelijke f
de groene is f '  (is bijv. overal positief, want f stijgt overal)
de rode is f '' (f is overal bol, dus f '' negatief)
     
14. f ' = 1/2 • x2 + 2ax
f '' = x + 2a
f '' = 0  als  x = -2a    dus daar ligt het buigpunt van f

raken:
f ' = g '  geeft  1/2 • x2 + 2ax =  2x + b  dus (met x = -2a)   2a2 - 4a2 = -4a + b   dus  b = -2a2 + 4a
f = g  geeft 1/6 • x3 + ax2 = x2 + bx
b en x vervangen:   -8/6 • a3 + 4a3 = 4a2 + 4a3 - 8a2 
-8/6 • a3  + 4a2 = 0
a2 • (-8/6a + 4) = 0
a = 0  ∨  a = 3 
dus  a = 0  en   b = 0
of  a = 3  en  b = -6
     
15. a. f (x) = 2(2x - 1)3 + 3(2x - 1)2 .
f '\(x) = 3 • 2(2x - 1)2 • 2 + 2 • 3(2x - 1) • 2
f '(x) = 12(2x - 1)2 + 12(2x - 1)
f '(x) = 12(4x2 - 4x + 1) + 24x - 12
f '(x) = 48x3 - 48x + 12 + 24x - 12
f '(x) = 48x3 - 24x
     
  b. f '(x) = 48x2 - 24x
f '' (x) = 96x - 24
f ''(x) = 0 geeft  x =  1/4
f(1/4) = 1/2  dus het raakpunt is  (1/4, 1/2)
f '(1/4) = -3  dus de raaklijn is  y = -3x + b
Die moet door  (1/4, 1/2) gaan dus  1/2 = -3 • 1/4 + b en dat geeft  b = 5/4
De buigraaklijn heeft vergelijking  y = -3x + 5/4