© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. Onderzoek het gedrag bij x = 1/4π.
vanaf de onderkant wordt het  sin2 1/4π = 1/2
vanaf de bovenkant wordt het   0,25π/π + 0,25 = 1/2
De functie is daarom continu
       
2. voor x < 6 is de functie gelijk aan  a • 62  + 4 • 6 = 36a + 24
voor x = 6 is de functie  63 - a • 6 = 216 - 6a
36a + 24 = 216 - 6a
42a = 192
a = 32/7   
       
3. a. f(1) = -41/2a
Als de functie linkscontinu in  x = 1 moet zijn, dan moet de limiet van de onderkant naar 1 van f  dus ook gelijk zijn aan -41/2a
(x˛ - 2x)/(x - a)  gaat naar -41/2a
 x = 1 invullen:  -1/(1 - a) = -4,5a
-1 = -4,5a(1 - a)
4,5a2 - 4,5a + 1 = 0
a = 2/3  of  a = 1/3
       
  b. Als f continu is in x = 1, dan moet hij daar  behalve linkscontinu (zie vraag a) ook rechtscontinu zijn
Voor x van de bovenkant naar 1 gaat de functie naar ax2 - 32/3 
dus moet gelden  ax2 - 32/3  = -41/2a
x = 1 geeft  a - 32/3  = -41/2a
dat geeft  a = 2/3, en dat klopt inderdaad met het linkscontinu zijn in vraag a)
       
  c. f   vertoont asymptotisch gedrag bij x = 1 als er daar door nul wordt gedeeld.
Dat is zo als a = 1.
in dat geval is de limiet van de onderkant naar 1 gelijk aan  +∞  (er komt  -1/(x - 1)  en die noemer is negatief)
       
4. voor x < 0 is het  f(x) = x(-x - 1)/2 = -1/2x2 - 1/2x
voor x > 0 is het  f(x) = x(x - 1)/2 = 1/2x2 - 1/2x

zoals je hiernaast ziet gaan beide delen naar (0, 0) en dat is inderdaad ook f(0)
de functie is daarom continu.
       
5.
  dat kan ophefbaar discontinu worden als  x - a/2 gelijk is aan x - 2  of aan x + 2.
dat is zo als a = 4  of  a = -4
a = -4 zou ophefbare discontinuďteit geven voor x = -2, maar daar geldt het andere functievoorschrift.
conclusie:  de enige mogelijkheid is a = 4
voor x van de onderkant naar 2 gaat de functie naar 4 • 2 - b = 8 - b
voor x van de bovenkant naar 2 gaat de functie naar b(x + 2)/2 = 2b
voor ophefbare discontinuďteit moet dat gelijk zijn:     8 - b = 2b  geeft  b = 22/3 
De continumakende waarde  is  f(2) = 51/3 
       
6. Het punt om te onderzoeken is x = 1 want daar wordt de noemer nul.
 
  de limiet bestaat dus en is gelijk aan 2. Toch is de functie niet continu in 2, want f(2) zelf bestaat niet.
je kunt de functie continu maken door (2, 2) toe te voegen.
       
7. bij x = 3:
 
  f(3) = a • 32 + b • 3 + 2 = 9a + 3b + 2
voor continuďteit met gelden  9a + 3b + 2 = -6

bij x = 6
van de onderkant gaat de functie naar a • 62 + b • 6 + 2 =  36a + 6b + 2
f(6) = a + b - 4 • 6 = a + b - 24
voor continuďteit moet gelden  36a + 6b + 2 = a + b - 24  ofwel  35a + 5b + 26 = 0

samen:
9a + 3b + 2 = -6  en  35a + 5b + 26 = 0
maak van de eerste  b = -8/3 - 3a  en vul dat in in de tweede:
35a + 5 • (-8/3 - 3a) + 26 = 0
35a + -40/3 - 15a + 26 = 0
20a = -122/3
a = -19/30
dan is b = -8/3 - 3a  = -137/30
       
8. bij x = 5:
voor x vanaf de bovenkant naar 5 gaat g naar  52 - 3 • 5 + p = 10 + p
g(5) = 5q + 8
dus moet gelden 10 + p = 5q + 8

bij x = -5:
voor x vanaf de onderkant naar -5 gaat g naar  (-5)2 - 3 • -5 + p = 40 + p
g(-5) = -5q + 8
dus moet gelden  5q + 8 = 10 + p  en   -5q + 8 = 40 + p
trek de vergelijkingen van elkaar af   10q = -30 
dus is q = -3  en dan is p = -17 
       
9. voor x < 0 is het  f(x) = √(-x - 4) en die heeft een randpunt  (-4, 0)
voor x > 0 is het f(x) = √(x - 4) en die heeft een randpunt (4, 0)

zoals je hiernaast ziet is de functie discontinu.

       
10. voor x < 0 is  |x| = -x, dus dat geeft:
 
  voor x > 0 is |x| = -x, dus dat geeft:
 
  deze limieten zijn niet gelijk, dus de gevraagde limiet van x naar 0 bestaat niet.