© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a. f(x) = cos(3x)
f '(x) = -sin(3x)  • 3  = -3sin(3x)  die 3 komt van de kettingregel.
       
  b. y = 2sinx + cos(x2)
y '= 2cosx - sin(x2) • 2x  = 2cosx - 2xsin(x2)    die 2x komt van de kettingregel.
       
  c. f(x) =  sin(x + 3) - 2cos(5 - x)
f '(x) = cos(x + 3) - 2 • -sin(5 - x) • -1  = cos(x + 3) - 2sin(5 - x)
       
  d. f(x) =  √(cosx) = (cosx)0,5
f '(x) = 0,5 • (cosx)-0,5 • -sinx = -sinx/2√(cosx)
       
  e. y = 5 - 2cos(2πx - 3)
y ' = -2 • -sin(2πx - 3) • 2π  =  5 + 4πsin(2πx - 3)
       
  f. f(x) = sin2(x)  = (sinx)2
f '(x) = 2 • sinx • cosx   die cos x komt van de kettingregel.
       
  g. y = 2 - sin(x2 + 3)
y '=  -cos(x2 + 3) • 2x = -2xcos(x2 + 3)   die 2x komt van de kettingregel.
       
  h. y = 4cosx • sinx
y' = 4 • -sinx • sinx + 4cosx • cosx  =  -4sin2x + 4cos2x    met de productregel.
       
2. a. √(6sinx) = -2cosx
6sinx = 4cos2x
6sinx = 4(1 - sin2x)
6sinx = 4 - 4sin2x
4sin2x + 6sinx - 4 = 0   noem nu sinx = p
4p2 + 6p - 4 = 0
ABC-formule:   p = (-6 ±√(36 + 64))/8 = (-6 ± 10)/8 = 1/2  of -2
sinx = -2 kan niet, dus blijft over sinx = 1/2
x = 1/6π + k2π ∨  x = 5/6π + k2π
controleren (want we hebben gekwadrateerd):  alleen x = 5/6π  is een goede oplossing.
       
  b. Als de grafieken elkaar loodrecht snijden dan moet gelden  f ' • g' = -1

f '(x) = 0,5 • (6sinx)-0,5 • 6cosx
f '(5/6π) =  0,5 • 3-0,5 • 6 • -1/2√3 = -11/2

g '(x) = -2 • -sinx = 2sinx
g'(5/6π) = 2 • 1/2 = 1

f '• g '  is niet gelijk aan -1, dus de grafieken snijden elkaar niet loodrecht.
       
3.
  dat is nul als de teller nul is:
6cosx - 3cos2x - 3sin2x = 0
6cosx - 3(cos2x + sin2x) = 0
6cosx - 3 = 0
6cosx = 3
cosx = 1/2
x = 1/3π ∨  x = 12/3π
x = 1/3π geeft  y = 3 • 1/2√3 / (2 - 1/2) = 3√3 en de top  (1/3π, 3√3) 
x = 12/3π  geeft  y = 3• -1/2√3 / (2 - 1/2) = -3√3 en de top  (12/3π, -3√3)
       
4. a. De functie bestaat niet als 1 + sinx = 0  dus bij x = 11/2π.
   
    Dat is nul als de teller nul is:
sinxcosx(2 + sinx) = 0
sinx = 0 ∨  cosx = 0  ∨  2 + sinx = 0  maar dat laatste kan niet.
x = 0 ∨ x = π ∨  x = 2π  ∨  x = 1/2π  ∨ x = 11/2π  en die laatste valt af, omdat de functie daar niet bestaat.
Dat geeft de punten (0, 0) en (π, 0) en (2π, 0) en (11/2π, 1/2)
       
  b. sin²x/(1 + sinx) = 1/6
sin2x = 1/6 • (1 + sinx)
6sin2x = 1 + sinx
6sin2x - sinx - 1 = 0   noem nu sinx = p
6p2 - p - 1 = 0
ABC-formule:  p = (1 ±√(1 + 24))/12 = (1 ± 5)/12 = 1/2  of  -1/3
sinx = 1/2 ∨  sinx = -1/3
x = 1/6π  ∨    x = 5/6π  ∨  x = sin-1(-1/3) = -0,34  ∨   x = π - - 0,34 = 3,48   
       
5. a. Zie de figuur hiernaast.
Er zijn 4 snijpunten als p tussen de lijnen p1 en p2 in ligt.
Het is dus zaak de plaats van de maxima en minima van f te vinden.

f '(x) =  -2sin(2x) - cosx = 0
-2 • 2sinxcosx - cosx = 0
cosx(-4sinx - 1) = 0
cosx = 0  ∨  sinx = -1/4
x = 1/2π ∨  x = 11/2π
∨  x = sin-1(-1/4) = -0,25  ∨  x = π - - 0,25 = 3,39

Dat geeft minima  (1/2π, -1) en (11/2π, 1)
Dat geeft maxima  (3.39, 2.125) en (6.03, 2.125) 
    Er zijn 4 snijpunten voor 1 < p < 2,125

NB:
De 2,125 is exact en niet afgerond.
Als sinx = -1/4 dan is cos2x = 1 - 2sin2x = 1 - 2 • 1/16 = 7/8
Dan is f(x) =  7/8  - 1/4 + 1 = 21/8.
       
  b. f '(p) =  -2sin(2 • π) - cosπ  = 1  dus de raaklijn is  y = x + b
Die moet door (π, 2) gaan, dus  2 = π + b  ⇒   b = 2 - π
De raaklijn is dan  y = x + 2 - π
       
6.
   
       
7. Bekijk alleen het gebied x in [0, 2π] want dat is de periode van de functie.

Nulpunten:  2cosx - a = 0  ⇒  2cosx = a ⇒  cosx = 1/2a
(Verder mag sinx niet nul zijn, dus x mag niet 0, π, 2π zijn)
Dat heeft oplossingen als  -2 < a < 2

Extremen:  f ' = 0
 
  -2sin2x - 2cos2x + acosx = 0
-2(sin2x + cos2x) + acosx = 0
-2 + acosx = 0
acosx = 2
cosx = 2/a
Dat heeft oplossingen als  a > 2 of  a < -2

Er zijn inderdaad geen waarden van a waarvoor beide voorwaarden kloppen.
       
8. a. f(x) =  2·cos x + sin2x + 1
f '(x) = -2sinx + 2cos(2x) = 0
-2sinx + 2(1 - 2sin2x) = 0
-2sinx + 2 - 4sin2x = 0
-2sin2x - sinx + 1 = 0
ABC-formule:   sinx = (1 ±√(1 + 8))/-4 =  (1 ± 3)/-4 = -1  of  1/2
sinx = -1  sinx = 1/2
x = 11/2π ∨ x = 1/6π ∨  x = 5/6π 
x = 1/6π geeft  y =  2 • 1/2√3 + 1/2√3 + 1 = 1 + 11/2√3  en dat is het maximum
x = 5/6π  geeft  y =  2 • -1/2√3 - 1/2√3 + 1 = 1 - 11/2√3 en dat is het minimum
       
  b. x = 11/2π  geeft  y = 2 • 0 + 0 + 1 = 0  dus dat is het punt  ( 11/2π, 1)
       
9. a. De afstand AB is de periode van de formule.
Dat is 2π/(2π/p)
Dus moet gelden p ≥ 8,00
       
  b. De helling is de afgeleide, en die mag dus maximaal 1/15 zijn.  
   
    Dat is een sinusoοde met amplitude  -0,80π/p dus moet gelden   0,80π/p < 1/15
15 • 0,80π ≤ p  (kruislings vermenigvuldigen)
p ≥ 12π
       
10. a. f(x) = 1/sinx = -2
sinx = -1/2
x = 11/6π  ∨   x = 15/6π

Uit de grafiek lees je dan af dat f > -2 geldt voor
0 < x < π  en   11/6π < x < 15/6π.
     
  b. De toppen vind je door te stellen f ' = 0
f(x) = (sinx)-1
f ' (x) = -(sinx)-2 • cosx = 0
-cosx/sin2x = 0
cosx = 0
x = 1/2π   ∨  x = 11/2π

Dat geeft de punten (1/2π, 1) en (11/2π, -1)
a = Δy/Δx = (-1 - 1)/(1,5p - 0,5p) = -2/π
De lijn is dan y = -2/π • x + b en die moet door  (1/2π, 1) gaan
1 = -2/π • 1/2π + b  ⇒  b = 2
De lijn is  y = -2/π • x + 2 en die gaat door (0,2)  
       
  c. p - sin x  = 1/sinx
psinx - sin2x = 1   ....(1)

Als er maar ιιn snijpunt moet zijn, dan moeten de grafieken elkaar raken, dus moeten de afgeleides ook gelijk zijn.
-cosx = -cosx/sin2x
Dat geeft sin2x = 1 ∨  cosx = 0
sinx = 1 ∨ sinx = -1  ∨ cosx = 0
x = 1/2π  ∨  x = 11/2π
x = 1/2π geeft  met (1):   sinx = 1  en   p • 1 - 1 = 1 ⇒   p = 2
x = 11/2π  geeft met (1):    sinx = -1  en  p • -1 - 1 = 1  ⇒   p = -2
       
11. a. h(t) = 8 + 8sin(8,38t - 1,57) 
laagste stand 0, hoogste stand 16 geeft evenwichtslijn 8 en dat is de eerste 8 uit de formule
amplitude  16 - 8 = 8 en dat is de tweede 8 uit de formule.
80 keer per minuut dus de periode is 60/80 = 0,75 minuut, dus in de formule staat 2π/0,75 = 8,38
De zuiger begint onderin dus na 1/4 periode is hij in zijn evenwichtsstand.  1/4 van 2π is 1/2π = 1,57
       
  b. h' =  8 • cos(8,38t - 1,57) • 8,38
h '(2) =  8 • cos(8,38• 2 - 1,57) • 8,38 = -58,2
op t = 2 beweegt de zuiger zich met 58,2 cm/sec omlaag.
       
12. a. g(x) = sin(1/4x) • cos( x)
De periode van sin(1/4x) is 2π/1/4 = 8π
De periode van cos(1/3x)  is  2π/1/3 = 6π
De gemeenschappelijke periode is  24π  (drie periodes van 8π en 4 periodes van 6π)
Dat zal de periode van g1/4 zijn.
       
  b. g(x) = sin(1/3x) • cos( x)
= • 2sin(1/3x) • cos( x)
= • sin(2 • x)
= sin(x)
De periode is  2π/(2/3) = 3π
       
  c. g(x) = sin(1/2x) • cos( x)
g(p) = 1 • 1/2 = 1/2 dus het raakpunt is  (π, 1/2)

g'(x) = 1/2cos(1/2x) • cos(1/3x) - 1/3sin(1/3x) • sin(1/2x)
g'(p) = 1/2 • 0 • 1/2 - 1/3 • 1/2√3 • 1 = -1/6√3

De raaklijn is  y = -1/6√3 • x + b
Raakpunt invullen:  1/2 = -1/6√3 • π + b  ⇒   b = 1/2 + 1/6π√3
De raaklijn is  y = -1/6√3 • x + 1/2 + 1/6π√3
       
13. a. De grafiek gaat door (120, 1520) en (240, 480)
Evenwichtslijn is  (1520 + 480)/2 = 1000
Amplitude is  1520 - 1000 = 520
Halve periode is 240-120 = 120 dus de hele periode is 240 en in de formule staat  2π/240 = π/120
Beginpunt is een kwartperiode voor t = 120 dus bij 120 - 0,25 • 240 = 60
Formule:  W = 1000 + 520sin(π/120(t - 60))
       
  b. 1300 = 900 + 550sin(0,03t - 5)
400 = 550sin(0,03t - 5)
0,7273 = sin(0,03t - 5)
0,03t - 5 = sin-1(0,7273) = 0,814 + k2π   ∨   0,03t - 5 = π - 0,814 + k2π
0,03t = 5,814 + k2π  ∨   0,03t = 7,328 + k2π     
t = 194 + k209 ∨  t = 244 + k • 209
De eerste mogelijkheid is  t = 244 - 209 = 35
       
  c. Dan moet de afgeleide gelijk zijn aan -2.
W ' = 550•cos(0,03t - 5)• 0,03 = 16,5•cos(0,03t - 5) = -2
cos(0,03t - 5) = -0,1212
0,03t - 5 = 1,692 + k2π  ∨  0,03t - 5 = 2π - 1,692 + k2π
0,03t =  6,692 + k2π ∨  0,03t = 9,591 + k2π
t = 223 + k209 ∨  t = 320 + k209
       
14. a. Voor x = 1/2π komt er sin21/2π + 1/2 • sin1/2π = 11/2 uit.
Dat is de paarse grafiek hiernaast.

     
  b. Bij een horizontale raaklijn is de afgeleide nul.
f(x) = sin2x + sinx
f ' (x) = 2sinxcosx + cosx = 0
cosx(2sinx + 1) = 0
cosx = 0 ∨  2sinx + 1 = 0
cosx = 0 ∨  sinx = -1/2
x = 1/2π ∨  x = -1/2π ∨  x = -1/6π ∨  x = -5/6π 
Dat geeft de punten  ( 1/2π, 2) ( -1/2π, 0) (-1/6π, -1/4)(-5/6π , -1/4)
       
  c. Dan moet gelden (er zijn twee mogelijkheden);

mogelijkheid 1:
 f(1/2π) = 2 • f(-1/2π)
sin2(1/2π) + asin(1/2π) = 2 • (sin2(-1/2π) + asin(-1/2π))
1 + a = 2 • (1 - a)
1 + a = 2 - 2a
3a = 1
a = 1/3

mogelijkheid 2:
 f(1/2π) = -2 • f(-1/2π)
sin2(1/2π) + asin(1/2π) = -2 • (sin2(-1/2π) + asin(-1/2π))
1 + a = -2 • (1 - a)
1 + a = -2 + 2a
3 = a
       
15. sinx = cos2x
sinx = sin(1/2π - 2x)
x = 1/2π - 2x + k2π  ∨  x = π - (1/2π - 2x) + k2π
3x = 1/2π + k2π  ∨   -x = 1/2π + k2π
x = 1/6π + k2/3π  ∨  x = -1/2π + k2π
Dat is snijpunt bij x = 1/6π

De afgeleide van sinx is  cosx en die is gelijk aan  1/2√3 bij x = 1/6π
De afgeleide van  cos(2x) = -2sin(2x) en die is gelijk aan -1 bij x = 1/6π

De raaklijn aan de grafiek van sinx maakt een hoek α met de positieve x-as waarvoor geldt  tanα = 1/2√3
Dan is   α = tan-1(1/2√3) = 40,9Ί

De raaklijn aan de grafiek van cos2x maakt een hoek β met de positieve x-as waarvoor geldt  tanβ = -1
Dan is   β = tan-1(-1) = -45Ί

Dan is de hoek tussen die raaklijnen 180Ί- 45Ί- 49,1Ί = 85,9Ί
       
16. a.
     
   
       
    En dat is inderdaad gelijk.  
       
  b. (sinx + cosx)/(sinx - cosx) = a
sinx + cosx = a(sinx - cosx)

deel nu alles door cosx;
tanx + 1 = a(tanx - 1)
tanx + 1 = atanx - a
tanx - atanx = -1 - a
tanx(1 - a) = -1 - a
tanx = (-1 - a)/(1 - a) = (a + 1)/(a - 1)
       
17. cos(x + α) + cosx is maximaal als de afgeleide ervan nul is.

-sin(x + α) - sinx = 0
sin(x + α) = -sinx
sin(x + α) = sin(-x)
x + α = -x + k2π  ∨  x + α = π - - x + k2π
2x = -α + k2π ∨  α = π + k2π
x =  -1/2α + kπ

Dat maximum bij x = -1/2α moet kleiner of gelijk zijn aan 1:
cos(-1/2α + α) + cos(-1/2α ) = 1
cos(1/2α) + cos(1/2α) = 1
cos(1/2α) = 1/2
1/2α = 1/3π  + k2π ∨  1/2 α = 12/3π + k2π
α = 2/3π +k4π ∨  α = 31/3π + k4π
de waarde is kleiner dan of gelijk aan  1 voor  2/3π  ≤ α ≤ 31/3π      (+k4π)
       
18. L = f - g
= 3sinxcosx -  -2sin2x
= 3sinxcosx + 2sin2x

Dat is maximaal als de afgeleide nul is.
L' = 3cosxcosx + 3sinx • -sinx + 2 • 2sinx • cosx = 0
3cos2x - 3sin2x +  4sinxcosx = 0
3(cos2x - sin2x) + 2 • 2sinxcosx = 0
3cos2x + 2sin2x = 0
2sin2x = -3cos2x
sin2x/cos2x = -3/2
tan2x = -3/2
2x = tan-1(-3/2) = -0,98 + kπ
x = -0,49 + k1/2π
Tussen 0 en π geeft dat  x = 1,08  en  x = 2,65
Dan is L = 2,80   en  L = -0,80
De eerste is de maximale lengte van L
       
19.
   
  Dat is nul als cosx = 0
x = 1/2π  ∨  x = 11/2π  (+k2π)
Dat geeft de extremen  (1/2π, 2)  en  (11/2π, -2)
       
20. a. f '(x) = -sin(x - α) - cosx  en dat is kennelijk nul bij x = 2/3π
-sin(2/3π - α) - cos(2/3π) = 0
-sin(2/3π - α) = cos(2/3π) = -1/2
sin(2/3π - α) = 1/2
2/3π - α = 1/6π + k2π  ∨   2/3π - α = 5/6π + k2π
 α = 1/2π + k2π ∨   α = -1/6π + k2π 
Dat k2π doet er niet toe, dat is de periode van sinx en cosx
 α = 1/2π  geeft f(x) = cos(x - 1/2π) - sinx = sinx - sinx = 0  en dat heeft geen maxima
 α = -1/6π geeft  f(2/3π) = cos(2/3π + 1/6π) - sin(2/3π) = cos(5/6π) - sin(2/3π) = -1/2√3 - 1/2√3 = -√3
       
  b. cos(-α - α) - sin(-α) = 0
cos(-2α) = sin(-α)
cos(-2α) = cos(1/2π - - α)
cos(-2α) = cos(1/2π + α)
-2α = 1/2π + α + k2π ∨  -2α = 2π - 1/2π - α + k2π
-3α = 1/2π + k2π  ∨  -α = 11/2π + k2π 
α = 1/6π + k2/3π  ∨  α = -11/2π + k2π 
       
21. a. y = 0:   2 - 4sin(2x) = 0
4sin(2x) = 2
sin(2x) = 1/2
2x = 1/6π + k2π  ∨  2x = π - 1/6π + k2π
x = 1/12π + kπ  ∨  x = 5/12π + kπ
Omdat A en B tussen x = 0 en x = π liggen zijn de x-coφrdinaten:  1/12π  en  5/12π 
       
  b. f '(x) =  -4cos(2x) • 2  (die 2 komt van de kettingregel)
f '(0) = -4 • cos(2 • 0) • 2 = -8
De raaklijn heeft dus vergelijking  y = -8x + b
De raaklijn moet door (0, 2) gaan dus b = 2 en de vergelijking is y = -8x + 2
Snijpunt met de x-as:  -8x + 2 = 0 ⇒  8x = 2  ⇒  x = 1/4.
De coφrdinaten zijn dus  (1/4, 0)
       
22. a. sin x + sin(2x) = 0
sinx + 2sincosx = 0
sinx(1 + 2cosx) = 0
sinx = 0  ∨ 1 + 2cosx = 0
sinx = 0 ∨   cos = -1/2
x = 0  ∨   x = π  ∨ x = 2/3π 
Punt B ligt bij x = 2/3π.
       
  b. Bij de toppen geldt  f '(x) = 0
f '(x) = cosx + 2acos(2x)  en dat moet nul zijn voor x = 5/6π
cos(5/6π) + 2acos(10/6π) = 0
-1/2√3 + 2a • 1/2 = 0
a = 1/2√3

f '(x) = cosx + √3•cos(2x) = 0
cosx + √3(2cos2x - 1) = 0
cosx + 2√3cos2x - √3 = 0
2√3cos2x + cosx - √3 = 0
ABC-formule:  cosx = (-1 ± √(1 + 4•2√3•√3))/4√3 = (-1 ± 5)/4√3 = 4/4√3  of  -6/4√3
cos = -6/4√3 geeft de eerdere oplossing x = 5/6π
cosx = 4/4√3 geeft  x = 0,96 en dat is de x-coφrdinaat van de gezochte tweede top.  
       
23. a. x + cosx = x - 1
cosx = -1
x = π + k2π
tussen 0 en 14 geeft dat de oplossingen π en 3π.
x = π  geeft  y = x - 1 = π - 1 en het punt  (π, π - 1)
x = 3π  geeft  y = x - 1 = 3π - 1  en het punt  (3π, 3π - 1)
       
  b. x + cosx = x + 1
cosx = 1
x = 0 + k • 2π
tussen 0 en 14 geeft dat de oplossingen 0 en  2π  en 4π.
de lijn l heeft helling 1, dus als die de grafiek raakt, moet de grafiek van f in die punten ook helling 1 hebben.
Dan moet gelden f ' = 1
f '(x) =  1 - sinx

f '(0) = 1 - sin0 = 1
f ΄(2π) = 1 - sin(2π) = 1
f '(4π) = 1 - sin(4π) = 1
Dat klopt, dus raakt lijn l de grafiek van f in de drie gevonden punten.
       
  c. De grafiek van g zal de lijnen raken in punten waar de helling van g gelijk is aan 1.
g ' =  1 ⇒  1 - asinx = 1 ⇒  asinx = 0  ⇒ x = 0  + k • π
Dat geeft tussen 0 en 14 de mogelijkheden  x = 0, π, 2π, 3π, 4π.
Dat zijn de punten  (0, 11/2 + a)  en  (π, 11/2 + π - a) en (2π, 11/2 + 2π + a) enz.

Maar verder moet ook nog gelden dat die punten van de grafiek van g om en om ook op de lijnen y = x + 4 en y = x - 1 liggen.
y = x + 4 gaat door  (0, 4) dus zou a gelijk moeten zijn aan  21/2.
dan  is (π, 11/2 + π - a) gelijk aan  ((π, π - 1) en dat ligt inderdaad op de lijn y = x - 1
controleer zelf maar dat a = 21/2 ook klopt met de andere punten....
       
24. a. f  ' = 1 · sinx + x · cosx
Y1 =  sin(X) + X * cos(X)
calc - maximum geeft  x = 1,07 en helling  1,391
       
  b. f  ' = sinx + x · cosx
f '(π/6) = 1/2 + π/6 · 0,5√3 = 0,9534
De raaklijn is de lijn y = 0,9534x + b
f (π/6) = π/6 · 1/2 = 0,2618
0,2618 = 0,9534 · π/6 + b
Dat geeft  b = -0,2374
De raaklijn is de lijn  y = 0,95x - 0,24
       
25. a. f(x) = sin(x) • (sin(x) + 2cos(x))  
Met de productregel:  (twee delen met verschillende kleur voor de duidelijkheid)
f '  =  cos(x) • (sin(x) + 2cos(x)) +  sin(x) • (cos(x) - 2sin(x))
       
  b. A = (π, 0)
De helling in A is  f ' (π) sin(2π) 2cos(2π) = 0 + 2 • 1 = 2.
De raaklijn is dus  y =  2x + b en die moet door  (π, 0) gaan.
0 = 2 • π + b  geeft  b = -2π
De raaklijn is dus  y = 2x - 2π
Snijden met de grafiek van f:

2x - 2π = sin(x) • (sin(x) + 2cos(x))
te moeilijk, dus met de GR:
Y1 = 2X - 2π  en  Y2 = sin(X) • (sin(X) + 2cos(X)) en dan intersect geeft  X  = b = 3,84
       
26.

       
  a. Kies als oorsprong het midden van het rad.
Dan geldt voor de coφrdinaten van het stoeltje van zijn vrouw:
amplitude 38,  periode 240 sec, evenwichtslijn 0,  beginpunt 7/20 deel verder, dus 84 seconden.
Dus  x(t) = 38cos(π/120(t + 84))  en  y(t) =  38sin(π/120(t + 84))
       
  b De coφrdinaten van de man zijn M = (-12, -76)
Dus MV =  √( (12 + 38cos(π/120(t + 84)))2 + (76 + 38sin(π/120(t + 84)))
in de GR:
Y1 = 38cos(π/120*(X + 84))
Y2 = 38sin(π/120*(X + 84))
Y3 = √((12 + Y12) + (76 + Y22))
Y4 = nDerive(Y1, X, X)
calc - value - Y4(0) = -0,5044 m/sec
Zijn vrouw beweegt zich naar hem toe met  0,5 m/sec
       
27. a. 1 - sinx  = cos2x
1 - sinx = 1 - 2sin2x
2sin2x  - sinx = 0
sinx(2sinx - 1) = 0
sinx = 0  sinx = 1/2
x = 0  ∨ x = π  ∨  x = 1/6π  ∨  x = 5/6π
       
  b. Als de raaklijnen evenwijdig zijn hebben de functies dezelfde afgeleide bij x = p
f ' (p) =  -cosp
g '(p) = -2sin2p
-cosp = -2sin2p
cosp - 2sin2p = 0
cosp - 4sinpcosp = 0
cosp • (1 - 4sinp) = 0
cosp = 0  ∨   sinp = 1/4
dan is  sinp = 1  ∨  sinp = -1  ∨  sinp = 1/4
Maar met p tussen  0 en π geeft dat  sinp = 1  ∨  sinp = 1/4 
       
28. a. g' = 1 - 2cosx = 0
cosx = 1/2
x = 1/3π  ∨  x =  12/3π
Dat geeft de extremen   (1/3π, 1/3π - √3 + 2)   en  (12/3π, 12/3π + √3 + 2)
       
  b. f '= g'  geeft  1 - 2sinx  = 1 - 2cosx
sinx = cosx
x = 1/4π  ∨  x = 5/4π

f = g  geeft dan  

1/4π + √2 = 1/4π - √2 + k .  Dus is  k =  2√2
5/4π - √2 = 5/4π + √2 + k.   Dus is  k = -2√2  
       
29. AB = f(p) - g(p) = 1/2sin(2x - 2/3π) - 1/4√3 - sin(x - 2/3π)
Dat is maximaal als de afgeleide ervan nul is:
AB' =  1/2cos(2p - 2/3π) • 2 - cos(x - 2/3π) = 0
cos(2p - 2/3π) = cos(x - 2/3π)
2p - 2/3π = p - 2/3π + k2π   ∨  2p - 2/3π = -p + 2/3π + k2π
p = 0 + k2π  ∨  3p = 4/3π + k2π
p = 0  + k2π  ∨  p = 4/9π + k2/3π
Tussen 0 en 2/3π geeft dat een maximum bij  p = 4/9π        
       
30. Snijpunten:

sin(x) = sin(x)/sin(2x) 
sin(x) • sin(2x) = sin(x)    (en sin(2x) ≠ 0)
sin(x)sin(2x) - sin(x) = 0
sin(x) • (sin(2x) - 1) = 0
sin(x) = 0  ∨ sin(2x) = 1
x = 0  ∨  2x = 1/2π  +  k2π
x = 0  ∨ x = 1/4π  ∨  x = -3/4π
De snijpunten zijn  x = 1/4π  en  x = -3/4π

Als de grafieken raken moeten de hellingen daar ook gelijk zijn.

f '(x) =  (cos(x)sin(2x) - sinx•2cos(2x))/sin²2x   en   g '(x) = cos(x)

x = 1/4π  geeft  f ' = (0,5√2 - 0)/(1) = 1/2√2     en  g ' = 1/2√2
x = -3/4π  geeft  f ' =  (-0,5√2 - 0)/(1) = -1/2√2      en  g ' =  -1/2√2
       
31. f = g  geeft  3sin3x = pcosx
f ' · g' = -1  geeft  9sin2x cosx · -psinx = -1
De eerste vergelijking geeft  p = 3sin3x/cosx
invullen in de tweede, dan valt cosx weg:   -9sin2x ·  3sin3x · sinx  = -1
sin6x = 1/27 
sinx = (1/27)1/6 =  (3-3)1/6  = 3-0,5  = 1/√3 = 1/3√3
dan is cosx = √(1 - sin2x) = √(1 - 1/3) = √(2/3) = 1/3√6
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)