© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
1. a. x(t) = t5 - 4t3   dus  x(1) = -3
x ' = 5t4 - 12t2  dus  x '(1) = -7

y
(t) = t2   dus  y(1) = 1
y ' = 2t dus  y '(1) = 2

De raaklijn heeft helling  -2/7 en moet door het raakpunt (-3, 1) gaan.
1 = -2/7 • 3 = b geeft  b = 16/7
De raaklijn is de lijn y = -2/7x + 16/7
     
  b. x '(0) = 0
y '(0) = 0
Dat zou helling  0/0 geven en dat is onbepaald.....Daar kan van alles uitkomen....
     
  c. snijpunt y-as:   t5 - 4t3  = 0
t3 (t2 - 4) = 0
t = 0 ∨  t = 2  ∨  t = -2

t = 2 en t = -2 geven beiden het raakpunt  (0, 4)

x '(2) = 32  en  y '(2) = 4  dus dat geeft helling  4/32 = 1/8
De raaklijn is dan  y = 1/8x + 4

x '(-2) = 32  en  y '(-2) = -4  dus dat geeft helling  -1/8
De andere raaklijn is de lijn  y = -1/8x + 4

Omdat een kromme zichzelf kan snijden (voor verschillende t-waarden door hetzelfde punt gaan) kan hij in zo'n snijpunt dus verschillende hellingen hebben, dus ook verschillende raaklijnen. 

   
2. x(t) = t3 - 4t  = 0
t(t2 - 4) = 0
t = 0  ∨  t = 2  ∨ t = -2
Dat geeft de snijpunten  (0, -1) en (0, e2)  en  (0, -3e-2)
Het gezochte raakpunt is  (0, e2) bij t = 2

x ' = 3t2 - 4  dus  x' (2) = 8
y '  =
1 • et + tet  - et = tet   dus  y '(2) = 2e2
De helling is dan  2e²/8 = 1/4e2
De raaklijn is de lijn  y = 1/4e2x + e2
  
     
3. x(t) = t2 - 2t
x ' =
2t - 2

y
(t) = lnt
y
' =  1/t

De helling is dan   1/(t(2t - 2))  en die moet 1/4 zijn.
t(2t - 2) = 4
2t2 - 2t - 4 = 0
t2 - t - 2 = 0
(t - 2)(t + 1) = 0
t = 2  ∨  t = -1

t = 2 geeft raakpunt  (0, ln2)  en de raaklijn  y = 1/4x + ln2
t = -1  geeft geen waarde voor y

conclusie:  b = ln2
       
4. x(t) = cos2t + cost  dus x(1/3p) = 3/4
x ' = 2cost • -sint - sint  dus  x '(1/3p) = -3

y
(t) = sin2t + sint  dus  y(1/3p) =  3/4 + 1/23
y ' =  2sint cost + cost  dus  y ' (1/3p) = 1/2 + 1/23

De helling bij t = 1/3p  is gelijk aan    (0,5 + 0,53)/-3 = -1/63 - 1/2

3/4 + 1/23 = (-1/63 - 1/2) • 3/4 + b
b
= 9/8 + 5/83

De raaklijn is de lijn  y =  (-1/63 - 1/2) • x + (9/8 + 5/83)
       
5. a. y(t) = sin(t/2) = 0
t/2 = 0 + k2p    t/2 = p + k2p
t =
2p, 4p, 6p, ....

De kromme snijdt zichzelf bij  t = 2p en t = 4p

y' =
1/2cos(t/2)
x' = -
1/3sin(t/3)

In het punt  t = 2p:   y' = -0,5  en  x' = -1/6√3
Dan heeft de raaklijn helling  3/√3  en die maakt een hoek van  tan-2(3/√3) = 60° met de x-as

In het punt  t = 4p:   y' = 0,5  en  x' = -1/6√3
Dan heeft de raaklijn helling  -3/√3  en die maakt een hoek van  tan-2(-3/√3) = -60° met de x-as

De kromme snijdt zichzelf onder een hoek van 120°
       
  b. y' = 1/2cos(t/2) = 1/2cos(3/2p) = 0
x' = -1/3sin(t/3) = -1/3sin(p) = 0
De helling wordt  0/0 en dat is onbepaald.
       
  c. t = 3,01p  geeft ongeveer
y ' = -0,00785....
x ' = 0,00349....
y'/x' = -2,25
       
6. a. Evenwijdig aan de y-as:
x ' =
-2t + 6 = 0
Þ  t = 3 
x
(3) = 9 en y(3) = 9 dus dat is het punt (9,9)

Evenwijdig aan de x-as:
y'
  = -t2 + 4t = 0
   t(-t + 4) = 0 
   t = Ú  t = 4
x(0) = 0  en  y(0) = 0  dus dat is het punt (0,0)
x
(4) = 8  en  y(4) = 102/3  dus dat is het punt  (8, 102/3) 

       
  b. x = 0  geeft   -t2 + 6t  = 0 
   t(-t + 6) = 0 
    t = 0 ∨ t = 6
t = 0  geeft  y = 0
t = 6 geeft y = 0
Dus voor t = 0 en t = 6 gaat de kromme door de oorsprong.

x'
(0) = 6  en  y '(0) = 0  dus voor t = 0 heeft de kromme helling 0
x'
(6) = -6  en  y '(6) = -12 dus voor t = 6 heeft de kromme helling  -12/-6 = 2

Een lijn met helling 2 maakt een hoek a met een horizontale lijn waarvoor geldt  tanα = 2   
Dan is  α = tan-12 = 63º
Dat is ook de hoek tussen de raaklijnen.
       
  c. De helling moet gelijk zijn aan 2.
y '/x' = (-t² + 4t)/(-2t + 6) = 2
2(-2t + 6) = -t2 + 4t
t
2  - 8t + 12 = 0
(t - 2)(t - 6) = 0
t = 2  ∨  t = 6

t = 2  geeft het punt  (8, 51/3)  dus  51/3 = 2 • 8  - p  en dat geeft  p = 102/3
t = 6 geeft het punt  (0, 0)  dus  p = 0  maar die valt af (niet in R+)
       
7. a. x = t2 - t - 2  = 0
(t - 2)(t + 1) = 0
t = 2 ∨  t = -1
Dat geeft y = 61/4  y = 1/4  en de punten  (0, 1/4)  en (0, 61/4)

y = t2 + t + 1/4 = 0
(t + 1/2)2 = 0
t = -1/2
Dat geeft  x = -11/4  en het punt  (-11/4, 0)  
       
  b. x ' = 0
2t - 1 = 0  ⇒  t = 1/2.
Dat geeft  x = -11/4  en  y = 1  dus in  (-11/4, 1) is de raaklijn evenwijdig aan de y-as

y ' = 0
2t + 1 = 0  ⇒  t = -1/2
Dat geeft  y = 0 en x = -11/4  dus in (-11/4, 0) is de raaklijn evenwijdig aan de x-as.
       
  c. y'/x'(2t + 1)/(2t - 1) 
   
    Dat kan alles aannemen behalve de waarde 1 (daar heeft deze grafiek een horizontale asymptoot)
       
8. a. x ' = -2sint
y
' = 3 • 4sin2t • cost
y
'/ x' = 12sin²tcost/-2sint  = -6sintcost = -3sin2t
       
  b. Als de x-coördinaat van de rechterzijde van de rechthoek gelijk is aan 2cost dan is de breedte van de hele rechthoek 4cost
Als de y- coördinaat van de bovenkant van de rechthoek gelijk is aan 4sin3t dan is de hoogte van de hele rechthoek 4sin3t
De oppervlakte is dan  8sin3t • 4cost = 32sin3tcost

Die is maximaal als de afgeleide nul is;
96sin2t cost • cost + 32sin3t • -sint = 0
32sin2t (3cos2t - sin2t) = 0
sin2t = 0  ∨  3cos2t - sin2t = 0
sint = 0  ∨  tan2t = 3

sint = 0 valt af want dan is de oppervlakte nul.
tan2t = 3
tant = 3
t = 1/3π
Dan is de oppervlakte 32 • (1/23)31/2 = 63

       
  c. y = 0
4sin3t - 3sint = 0
sint(4sin2t - 3) = 0
sint = 0  ∨  4sin2t - 3 = 0
sint = 0 ∨ sin2t = 3/4
sint = 0  ∨ sint = 1/23 ∨  sint = -1/23
Dat geeft   t =  0, 1/3π, 2/3π, π, 11/3π, 12/3π
dat geeft respectievelijk   x = 2, 1, -1, -2, -1, 1
De waarde die dubbel voorkomt op de positieve x-as is x = 1 bij   t = 1/3π en 12/3π   

y ' =
12sin2t • cost - 3cost.  Dus  y'(1/3π) = 3  en  y '(12/3π) = 3
x ' = -2sint  dus  x' (1/3π) = -3  en  x' (12/3π) =  -3

Bij t = 1/3π is de helling van de kromme   3/-3 = -3 en die maakt een hoek van tan-1(-3) = -60º met de positieve x-as
Bij t = 12/3π is de helling van de kromme   3/3 = 3 en die maakt een hoek van tan-1(3) = 60º met de positieve x-as

De hoek waaronder de kromme zichzelf snijdt is dan 120º  (of 60º als je de scherpe hoek wilt noemen)
       
9. a. x = cos6t
x
' = 6cos5t • -sint

y
= sin6t
y
' = 6sin5t • cost
   
  b. -tan4 t = -9
tan4t = 9
tant = 91/4 = 3
t = 1/3π   t = 11/3π   naar die laatste valt af, want t moet tussen 0 en 1/2π
t =
1/3π  geeft  x = cos6t = (1/2)6 = 1/64  en  y = sin6t = (1/23)6 = 27/64  dus  P = (1/64, 27/64)
       
10. a. x = 0   geeft   2sin2t = 0
sin2t = 0
2t = 0 + k2π 2t = π + k2π
t
= 0  ∨  t = 1/2π + kπ 
t
= 0 is de oorsprong,  t = 1/2π en t = -1/2π  zijn de gezochte punten.
t1/2π  geeft  y = 3/4π2

x ' =  4cos(2t)  dus  x'(±1/2π) = -4
y' = 6t  dus  y'(±1/2π) = ±3π
De helling van kromme K is gelijk aan  y'/x' = ±3/4π

De lijn y = -3/4πx + 3/4π2  snijdt de x-as als 
  -3/4πx + 3/4π2 = 0
πx = π2
x = π
De basis van de driehoek heeft dus breedte 2π, en de hoogte is  3/4π2
De oppervlakte is dan  3/4π3
       
  b. y = p geeft twee waarden van t die elkaars tegengestelde zijn.
Dan is  AB = 2sin(2t) - 2sin(-2t) = 2
sin(2t) - sin(-2t) = 1
2sin(2t) = 1
sin(2t) = 1/2
2t = 1/6π + k2π   ∨  2t = 5/6π + k2π
t = 1/12π + kπ   ∨   t = 5/12π + kπ
Dan is y = 3/144π2  of  y = 75/144π2
       
11. x ' = 3cos2t • -sint
y
' = 3sin2t • cost
rc = y'/x' = -sint/cost
raaklijn:   sin3t = -sint/cost • cos3t + b
b = sint
B =
(0, sint)

0 = -sint/cost x + sint
x =
cosdus  A = (cost, 0)

AB =
√(sin2t + cos2t) = 1