© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||
1. | a. | x(t)
= t5 - 4t3 dus
x(1) = -3 x ' = 5t4 - 12t2 dus x '(1) = -7 y(t) = t2 dus y(1) = 1 y ' = 2t dus y '(1) = 2 De raaklijn heeft helling -2/7 en moet door het raakpunt (-3, 1) gaan. 1 = -2/7 • 3 = b geeft b = 16/7 De raaklijn is de lijn y = -2/7x + 16/7 |
|
b. | x '(0) = 0 y '(0) = 0 Dat zou helling 0/0 geven en dat is onbepaald.....Daar kan van alles uitkomen.... |
||
c. | snijpunt y-as: t5
- 4t3
= 0 t3 (t2 - 4) = 0 t = 0 ∨ t = 2 ∨ t = -2 t = 2 en t
= -2 geven beiden het raakpunt (0, 4) |
||
2. | x(t)
= t3 - 4t = 0 t(t2 - 4) = 0 t = 0 ∨ t = 2 ∨ t = -2 Dat geeft de snijpunten (0, -1) en (0, e2) en (0, -3e-2) Het gezochte raakpunt is (0, e2) bij t = 2 x ' = 3t2 - 4 dus x' (2) = 8 y ' = 1 • et + tet - et = tet dus y '(2) = 2e2 De helling is dan 2e²/8 = 1/4e2 De raaklijn is de lijn y = 1/4e2x + e2 |
||
3. | x(t)
= t2 - 2t x ' = 2t - 2 y(t) = lnt y ' = 1/t De helling is dan 1/(t(2t - 2)) en die moet 1/4 zijn. t(2t - 2) = 4 2t2 - 2t - 4 = 0 t2 - t - 2 = 0 (t - 2)(t + 1) = 0 t = 2 ∨ t = -1 t = 2 geeft raakpunt (0, ln2) en de raaklijn y = 1/4x + ln2 t = -1 geeft geen waarde voor y conclusie: b = ln2 |
||
4. |
x(t)
= cos2t + cost dus x(1/3p)
= 3/4 x ' = 2cost • -sint - sint dus x '(1/3p) = -√3 y(t) = sin2t + sint dus y(1/3p) = 3/4 + 1/2√3 y ' = 2sint cost + cost dus y ' (1/3p) = 1/2 + 1/2√3 De helling bij t = 1/3p is gelijk aan (0,5 + 0,5√3)/-√3 = -1/6√3 - 1/2 3/4 + 1/2√3 = (-1/6√3 - 1/2) • 3/4 + b b = 9/8 + 5/8√3 De raaklijn is de lijn y = (-1/6√3 - 1/2) • x + (9/8 + 5/8√3) |
||
5. | a. | y(t)
= sin(t/2) = 0 t/2 = 0 + k2p ∨ t/2 = p + k2p t = 2p, 4p, 6p, .... De kromme snijdt zichzelf bij t = 2p en t = 4p y' = 1/2cos(t/2) x' = -1/3sin(t/3) In het punt t = 2p: y' = -0,5 en x' = -1/6√3 Dan heeft de raaklijn helling 3/√3 en die maakt een hoek van tan-2(3/√3) = 60° met de x-as In het punt t = 4p: y' = 0,5 en x' = -1/6√3 Dan heeft de raaklijn helling -3/√3 en die maakt een hoek van tan-2(-3/√3) = -60° met de x-as De kromme snijdt zichzelf onder een hoek van 120° |
|
b. | y' =
1/2cos(t/2)
= 1/2cos(3/2p)
= 0 x' = -1/3sin(t/3) = -1/3sin(p) = 0 De helling wordt 0/0 en dat is onbepaald. |
||
c. | t =
3,01p geeft ongeveer y ' = -0,00785.... x ' = 0,00349.... y'/x' = -2,25 |
||
6. | a. | Evenwijdig aan de y-as: x ' = -2t + 6 = 0 Þ t = 3 x(3) = 9 en y(3) = 9 dus dat is het punt (9,9)
Evenwijdig aan de x-as: |
|
b. | x = 0
geeft -t2 + 6t = 0
⇒ t(-t + 6) = 0 ⇒ t = 0 ∨ t = 6 t = 0 geeft y = 0 t = 6 geeft y = 0 Dus voor t = 0 en t = 6 gaat de kromme door de oorsprong. x' (0) = 6 en y '(0) = 0 dus voor t = 0 heeft de kromme helling 0 x' (6) = -6 en y '(6) = -12 dus voor t = 6 heeft de kromme helling -12/-6 = 2 Een lijn met helling 2 maakt een hoek a met een horizontale lijn waarvoor geldt tanα = 2 Dan is α = tan-12 = 63º Dat is ook de hoek tussen de raaklijnen. |
||
c. | De helling moet
gelijk zijn aan 2. y '/x' = (-t² + 4t)/(-2t + 6) = 2 2(-2t + 6) = -t2 + 4t t2 - 8t + 12 = 0 (t - 2)(t - 6) = 0 t = 2 ∨ t = 6 t = 2 geeft het punt (8, 51/3) dus 51/3 = 2 • 8 - p en dat geeft p = 102/3 t = 6 geeft het punt (0, 0) dus p = 0 maar die valt af (niet in R+) |
||
7. | a. |
x = t2 - t
- 2 = 0 (t - 2)(t + 1) = 0 t = 2 ∨ t = -1 Dat geeft y = 61/4 y = 1/4 en de punten (0, 1/4) en (0, 61/4) y = t2 + t + 1/4 = 0 (t + 1/2)2 = 0 t = -1/2 Dat geeft x = -11/4 en het punt (-11/4, 0) |
|
b. | x ' = 0 2t - 1 = 0 ⇒ t = 1/2. Dat geeft x = -11/4 en y = 1 dus in (-11/4, 1) is de raaklijn evenwijdig aan de y-as y ' = 0 2t + 1 = 0 ⇒ t = -1/2 Dat geeft y = 0 en x = -11/4 dus in (-11/4, 0) is de raaklijn evenwijdig aan de x-as. |
||
c. | y'/x' = (2t + 1)/(2t - 1) | ||
Dat kan alles aannemen behalve de waarde 1 (daar heeft deze grafiek een horizontale asymptoot) | |||
8. | a. | x ' = -2sint y ' = 3 • 4sin2t • cost y '/ x' = 12sin²tcost/-2sint = -6sintcost = -3sin2t |
|
b. | Als de x-coördinaat
van de rechterzijde van de rechthoek gelijk is aan 2cost dan is
de breedte van de hele rechthoek 4cost Als de y- coördinaat van de bovenkant van de rechthoek gelijk is aan 4sin3t dan is de hoogte van de hele rechthoek 4sin3t De oppervlakte is dan 8sin3t • 4cost = 32sin3tcost Die is maximaal als de afgeleide nul is; 96sin2t cost • cost + 32sin3t • -sint = 0 32sin2t (3cos2t - sin2t) = 0 sin2t = 0 ∨ 3cos2t - sin2t = 0 sint = 0 ∨ tan2t = 3 sint = 0 valt af want dan is de oppervlakte nul. |
||
c. | y = 0 4sin3t - 3sint = 0 sint(4sin2t - 3) = 0 sint = 0 ∨ 4sin2t - 3 = 0 sint = 0 ∨ sin2t = 3/4 sint = 0 ∨ sint = 1/2√3 ∨ sint = -1/2√3 Dat geeft t = 0, 1/3π, 2/3π, π, 11/3π, 12/3π dat geeft respectievelijk x = 2, 1, -1, -2, -1, 1 De waarde die dubbel voorkomt op de positieve x-as is x = 1 bij t = 1/3π en 12/3π y ' = 12sin2t • cost - 3cost. Dus y'(1/3π) = 3 en y '(12/3π) = 3 x ' = -2sint dus x' (1/3π) = -√3 en x' (12/3π) = -√3 Bij t = 1/3π is de helling van de kromme 3/-√3 = -√3 en die maakt een hoek van tan-1(-√3) = -60º met de positieve x-as Bij t = 12/3π is de helling van de kromme 3/√3 = √3 en die maakt een hoek van tan-1(√3) = 60º met de positieve x-as De hoek waaronder de kromme zichzelf snijdt is dan 120º (of 60º als je de scherpe hoek wilt noemen) |
||
9. | a. | x = cos6t x ' = 6cos5t • -sint y = sin6t y ' = 6sin5t • cost |
|
b. | -tan4 t
= -9 tan4t = 9 tant = 91/4 = √3 t = 1/3π ∨ t = 11/3π naar die laatste valt af, want t moet tussen 0 en 1/2π t = 1/3π geeft x = cos6t = (1/2)6 = 1/64 en y = sin6t = (1/2√3)6 = 27/64 dus P = (1/64, 27/64) |
||
10. | a. | x = 0
geeft
2sin2t = 0 sin2t = 0 2t = 0 + k2π ∨ 2t = π + k2π t = 0 ∨ t = 1/2π + kπ t = 0 is de oorsprong, t = 1/2π en t = -1/2π zijn de gezochte punten. t = 1/2π geeft y = 3/4π2 x ' = 4cos(2t) dus x'(±1/2π) = -4 y' = 6t dus y'(±1/2π) = ±3π De helling van kromme K is gelijk aan y'/x' = ±3/4π De lijn y = -3/4πx + 3/4π2 snijdt de x-as als -3/4πx + 3/4π2 = 0 πx = π2 x = π De basis van de driehoek heeft dus breedte 2π, en de hoogte is 3/4π2 De oppervlakte is dan 3/4π3 |
|
b. | y = p
geeft twee waarden van t die elkaars tegengestelde zijn. Dan is AB = 2sin(2t) - 2sin(-2t) = 2 sin(2t) - sin(-2t) = 1 2sin(2t) = 1 sin(2t) = 1/2 2t = 1/6π + k2π ∨ 2t = 5/6π + k2π t = 1/12π + kπ ∨ t = 5/12π + kπ Dan is y = 3/144π2 of y = 75/144π2 |
||
11. | x
' = 3cos2t • -sint y ' = 3sin2t • cost rc = y'/x' = -sint/cost raaklijn: sin3t = -sint/cost • cos3t + b b = sint B = (0, sint) 0 = -sint/cost • x + sint x = cost dus A = (cost, 0) AB = √(sin2t + cos2t) = 1 |
||