© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a. cosα = (-1 • -4 + 5 • -7)/(√26 • √65) = -31/41,11 = -0,754  
⇒    α = 138,9º  of  41,1º
       
  b. cosα = (0 • 6 + 4 • -4)/(√16 • √52) = -16/28,84 = -0,555  
⇒    α = 123,7º  of  56,3º
       
  c.
    cosα = (1 • -4 + 2 • 3)/(√5 • √25) = 2/11,18 = 0,179  
⇒   α = 76,7º
       
  d.
    cosα = (1 • 1 + 4 • -3)/(√17 • √10) = -11/13,04 = -0,844  
⇒    α = 147,5º  of  32,5º
       
  e.
    cosα = (1 • 5 + -5 • 3)/(√26 • √34) = -10/29,73 = -0,336  
⇒    α = 109,7º  of 70,3º
       
2. cosα = (-3 • 1 + a • 2)/(√5 • √(a² + 9))  =  ±1/2√3
-3 + 2a = ±1/2√3 • √(a2 + 9) • √5 
-6 + 4a = ±√15 • √(a2 + 9)
36 - 48a + 16a2 = 15a2 + 135
a2 - 48a - 99 = 0
a = (48 ± √2700)/2 = (48 ± 30√3)/2  =  24  ±  15√3    (ongeveer  -1,98 en  49,98)
       
3. a.
       
  b.
       
4. Stel  P = (0, p)
 
  Die staan loodrecht op elkaar als het inproduct nul is: 
-2 • 6 + (3 - p)•(7 - p) = 0
-12 + 21 - 3p - 7p + p2 = 0
p2 - 10p + 9 = 0
(p - 9)(p - 1) = 0
p = 9  ∨  p = 1
Dat zijn dus de punten  (0, 1) en (0, 9)
       
5. a. De cosinussen van de hoeken tussen de richtingsvectoren moeten gelijk zijn.
   
    Kruislings vermenigvuldigen:
(5 + 12a) • 5 • √(1 + a2) = (3 + 4a) • 13 • √(1 + a2)
25 + 60a = 39 + 52a
8a = 14
a = 14/8 = 13/4
       
  b. Lijn m moet door het punt S gaan.
Voor S geldt:    29 + 5s = 3t  en   4 + 12s = 24 + 4t
de tweede geeft  t = -5 + 3s  en dat kun je invullen in de eerste:
29 + 5s = 3(-5 + 3s)
29 + 5s = -15 + 9s
44 = 4s
s = 11
Dan is S = (29 + 55, 4 + 132) = (84, 136)
Als dat op lijn m ligt moet gelden:   u = 84  en   b + u • a = 136 
b + 84 • 13/4 = 136
b = -11
       
6. Bereken de projectie van  OP op de richtingsvector van de lijn  (dat is 2 opzij, 7 omhoog):
 
  De projectie is het punt  P' =  (40/53, 140/53)
       
7. P = (0, 1/p)
Q = (π, -1/p)
R  = (2π, 1/p)
 
  Voor loodrechte stand moet het inproduct nul zijn:
-2/p • 2/p + π • π = 0
-4/p² + π2 = 0
4/p² = π2
p2 = 4/π²
p = 2/π  ∨  p = -2/π
       
8. a. Kies een assenstelsel met de oorsprong in A
AF is de lijn  y = 0,5x
HD is de lijn  y = 1 - 1/3x
snijpunt:  0,5x =  1 - 1/3x
5/6x = 1
x = 6/5
dan is y = 3/5
AS is inderdaad de gevraagde vector,
       
  b.
    Het inproduct is NUL dus de vectoren staan loodrecht op elkaar.
       
9. M = (0.5a, 0)  en  B = (b, c)
 
  P = (b + c,  c + a - b)
 
  R = (b - c,  b + c)
 
 

dus  de lengte van PR is het dubbele van MB
PR staat loodrecht op MB want het inproduct is nul

OF
PR staat loodrecht op MB want de kentallen zijn omgedraaid met bij één van beiden een minteken
       
10.