© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a. x • │6 - x │ = 5

voor  x < 6:
x(6 - x) = 5
6x - x2 = 5
x2 - 6x + 5 = 0
(x - 5)(x - 1) = 0
x = 5 ∨ x = 1  en die zijn beiden goed.

voor x > 6:
x • -(6 - x) = 5
-6x + x2 = 5
x2 - 6x - 5 = 0
ABC-formule:  x = (6 ± √(36+20))/2 =  -0,74  ∨  6,74 en vanwege de voorwaarde wordt dat x = 6,74
       
  b. 2x + x • │1 - x│ = 0

voor x < 1:
2x + x( 1 - x) = 0
2x + x - x2 = 0
3x - x2 = 0
x(3 -  x) = 0
x = 0 ∨  x = 3  en vanwege de voorwaarde wordt dat  x = 0  

voor x > 1:
2x + x• -(1 - x) = 0
2x - x + x2 = 0
x + x2 = 0
x(1 + x) = 0
x = 0  ∨  x = -1  en vanwege de voorwaarde geeft dat geen oplossing.
       
  c. │x - 1│ = 2 • │5 - x│ 

voor  x < 1;
-(x - 1) = 2 • (5 - x)
-x + 1 = 10 - 2x
x = 9  maar die vervalt vanwege de voorwaarde

voor  1 < x < 5:
x - 1 = 2 • (5 - x)
x - 1 = 10 - 2x
3x = 11
x = 11/3  en die voldoet.  

voor x > 5:
x - 1 = 2 • -(5 - x)
x - 1 = -10 + 2x
9 = x  en die voldoet ook.
       
2. a. f (x) =  2│4 - 2x│ - 3│x + 4│
    splitsen bij  x = 2 en bij x = -4 geeft:
    •    x < -4:   y = 2(4 - 2x) - 3•-(x + 4)  = 8 - 4x + 3x - 12  =  -x - 4
•    -4 < x < 2:   y = 2(4 - 2x) - 3(x + 4) = 8 - 4x - 3x - 12  =  -7x - 4
•    x > 2:  y = 2 • -(4 - 2x) - 3(x + 4) = -8 - 4x - 3x - 12  =  -7x - 20
       
  b. 2x •│x2 - 6x + 8│
x2 - 6x + 8 =  (x - 2)(x - 4) dus splitsen bij  x = 2 en x = 4:
    •    x < 2  en   x > 4:  y = 2x(x2 - 6x + 8) = 2x3 - 12x2 + 16x
•    2 < x < 4:   y = 2x • -(x2 - 6x + 8) = -2x3 + 12x2 - 16x
       
  c. │x - │2 - x││
eerst de binnenste absolute waarde:  splitsen bij x = 2
x < 2  geeft  │x - (2 - x)│ = │2x - 2│ en dan deze weer splitsen bij x = 1:
•  x < 1:   y = -(2x - 2) = -2x + 2
•  1 < x < 2:   y = 2x - 2

x > 2 geeft  │x - -(2 - x)│ = │2│ = 2
dus voor x > 2 is het altijd  y = 2.
       
3. f(x) =  | -8 + | x |  |
eerst splitsen bij  x = 0:
x > 0  geeft   y =   | -8 +  x |  en dat moet je weer splitsen bij x = 8:
•  0 < x < 8  geeft  y = 8 - x
•  x > 8  geeft  y = -8 + x

x < 0  geeft  y =   | -8 -  x |  en dat moet je weer splitsen bij  x = -8
•  x < -8  geeft  y =  -8 - x
•  -8 < x < 0  geeft  y = 8 + x

Hieronder zie de grafiek van de vier delen van deze functie:
       
 

       
4. splitsen bij x = 0.

x > 0  geeft  y = x² /(x² + 1)
x < 0  geeft  y = x²/(-x² + 1)

Hiernaast zie je de grafiek van f en de lijn y = 0,5x

x² /(x² + 1)  = 0,5x
x2 = 0,5x(x2 + 1)
x2 = 0,5x3 + 0,5x
0 =  0,5x3 - x2 + 0,5x
0 = 0,5x(x2 - 2x + 1)
0 = 0,5x(x - 1)2
x = 0  ∨  x = 1

 
   x²/(-x² + 1)  = 0,5x
x2 = 0,5x(-x2 + 1)
x2 = -0,5x3 + 0,5x
0,5x3 + x2 - 0,5x = 0
0,5x(x2 + 2x - 1) = 0
x = 0 ∨  x2 + 2x - 1  en dat geeft met de ABC-formule  x = -1±√2  en daarvan is alleen 
-1 - √2 kleiner dan 0.

Aflezen uit de grafiek:  f(x) < 0,5x  geldt voor:  〈-1-√2, 0〉  en  〈0, 1〉  en  〈1, →〉
       
5. De functie bestaat vanwege het deel onder de wortel alleen voor x ≥  -2

2 - √(2x + 4) = 0
√(2x + 4) = 2
2x + 4 = 4
x = 0
Dat geeft de twee functievoorschriften:
•   -2 ≤  x < 0:      y =  2 - √(2x + 4)
•   x > 0:     y =  -2 + √(2x + 4)

Snijden met  y = a

2 - √(2x + 4) = a
√(2x + 4)  = 2 - a
2x + 4 = (2 - a)2
2x = (2 - a)2 - 4
x =  0,5(2 - a)2 - 2

-2 + √(2x + 4) = a
√(2x + 4) = a + 2
2x + 4 = (a + 2)2
2x = (a + 2)2 - 4
x = 0,5(a + 2)2 - 2

Het verschil tussen die twee oplossingen is de afstand AB:
(0,5(a + 2)2 - 2) - (0,5(2 - a)2 - 2)
= 0,5(a + 2)2 - 2 - 0,5(2 - a)2 + 2
= 0,5(a + 2)2  - 0,5(2 - a)2
= 0,5(a2 + 4a + 4) - 0,5(4 - 4a + a2)
= 0,5a2 + 2a + 2 - 2 + 2a - 0,5a2
= 4a
       
6. neem a < b dan zijn er weer drie gevallen:

voor x < a  staat er   -(x - a)• -(x - b) = (x - a )(x - b)  want dit laatste is positief (min keer min is plus) 
    dat geeft  (x - a)(x - b) = (x - a )(x - b) en dat klopt.
       
  voor  a < x < b  staat er  (x - a)•-(x- b) = -(x - a)(x - b)  want dat laatste was negatief (min keer plus is min)
    dat geeft  -(x - a)(x - b) = -(x - a)(x - b)  en dat klopt ook
       
  voor  x > b  staat er  (x - a) • (x - b) = (x - a)(x - b)  want dat laatste was positief (plus keer plus is plus)
    dat klopt dus ook.
       
  De regel klopt kennelijk altijd!!
       
7. | | x - 2 | - 3 |  splitsen bij x = 2.

x < 2  geeft   | -(x - 2) - 3 | =   | -x - 1 |   en dan deze weer splitsen bij x = -1
•  x < -1:   y = -x - 1
•  -1 < x < 2:   y = -(-x - 1) = x + 1

x > 2  geeft   | (x - 2) - 3 | =   | x - 5 |  en dan deze weer splitsen bij x = 5 
•  2 < x < 5:   y = -x + 5
•  x > 5:   y = x - 5

Hieronder zie de grafiek van de vier delen van deze functie:
       
 

       
  Daaruit zie je eenvoudig dat er precies drie oplossingen zijn voor y = a = 3
       
8. Splits de formule in twee delen.
|x - 2| = 0  bij  x = 2
x < 2:   y = -(x - 2)•(1/2x + 2) + 1 = -1/2x2 - 2x + x + 4 + 1 = -1/2x2 - x + 5
x > 2  doet er niet toe: het gaat om de raaklijn aan het deel x < 2

y ' = -x - 1  dus x = 2 geeft helling y ' =  -3
De lijn y = -3x + b  moet door het punt  (2, 1) gaan
1 = -6 + b geeft  b = 7
De raaklijn is de lijn  y = -3x + 7
       
9. De grafiek snijdt de x-as voor x > 1
Dan is   |x - 1| = x - 1
x - 1 + (x - 5)/(2x - 5) = 0
(x - 5)/(2x - 5) = -x + 1
x - 5 = (-x + 1)(2x - 5)
x - 5 = -2x2 + 5x + 2x - 5
2x2 - 6x = 0
2x(x - 3) = 0
x = 0  (maar die vervalt)  ∨ x = 3

Verticale asymptoot:   2x - 5 = 0  dus x = 2,5

De grafiek ligt voor  2,5 < x < 3 onder de x-as.