h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1.
  Z = (2.2, 2.6)
       
2.
  x-regel geeft   (35 + m) 4,25 = 20 + 150  en dat geeft  m =  5
y-regel geeft dan   40 6 = 80 + 75 + 5y   dus  y = 17
       
3. De figuur is te verdelen in 4  basisvormen.
Kies de oorsprong de linkeronderhoek van de figuur zelf.
Kies de dichtheid overal 1.

A: een rechthoek met zwaartepunt (1, 6.5) en massa 6

B:  een vierkant met zwaartepunt  (2.5, 2.5) en massa 25

C:  een driehoek met hoekpunten (5, 0) (7, 0) (5,5)
Het zwaartepunt is dan  (52/3, 12/3 )
de massa is  5.

D:  een driehoek met hoekpunten (7, 0) (9,2) (5,5)
Het zwaarte[punt is dan  (7, 21/3)
de massa is 20 - 2 - 5 - 6 = 7  (inlijsten)

De totale massa is  43.

 
  dat geeft  xZ = 3.391  en  yZ = 2.934
       
4. a.
       
  b. De rechthoeken hebben oppervlaktes  12 en 10 en zwaartepunten (1.5, 2)  en  (5.5, 1)
   
    Z = (183/42, 54/42)
       
5. Onderste laag:  inhoud  16000 en hoogte zwaartepunt 5 cm boven de grond
Middelste laag:  inhoud 12250 en hoogte 15 cm boven de grond
Bovenste laag:  inhoud 6250 en hoogte 25 cm boven de grond.

Vanaf de grond gerekend geldt dan   16000 5 + 12250 15 + 6250 25 = Z   34500
Dat geeft  Z = 12,17 cm boven de grond.
       
6.
  1000 + 300x = 0  geeft  x = -31/3
1600 + 300y = 0  geeft  y = -51/3
       
7. Het zwaartepunt ligt (vanwege de symmetrie) op de y-as.
De gemiddelde y-cordinaat van de punten A(0, a) met weging 2  en  C(-1, 0) met weging a 
is gelijk aan  -1 a + a 2 = a
Het totale gewicht is 4 + a  dus yZ =  a/(4 + a)   
Als a naar oneindig nadert, nadert dit naar 1, want dan kun je de 4 verwaarlozen tov a.
       
8. De driehoek heeft basis 8 en hoogte 4 dus oppervlakte  16
De cirkels hebben samen oppervlakte  2p
 Het zwaartepunt ligt op de lijn door de top van de driehoek en op de raaklijn aan beide cirkels.
Het zwaartepunt van beide cirkels is hun raakpunt, en dat ligt op afstand 1 van de basis van de driehoek.

Het zwaartepunt van de driehoek ligt op afstand  4/3 van de basis
Als het zwaartepunt van de hele figuur op afstand z van de basis ligt, dan moet gelden:
16z  = 2p(z + 1)
16x -  2pz  = 2p
 z = 2p/(16 - 2p)  ≈  0,6466
       
9. a.

       
  b.

Kies de oorsprong linksonder.
Dan zijn de middelpunten  (21/2, 21/2) (7, 2) (81/2, 3) (13, 2) en (141/2, 1/2)
De massa's zijn 25, 16, 9, 4, en 1
   
    335,5 = 55xZ  geeft  xZ  = 6,1
112,5 = 55yZ   geeft  yZ = 45/22
       
10. a

A = (-4, 0) en  B = (4, 0) en  C = (0,48)
MBC = (2, 23) 
AM:  y = 1/33x + b
23 = 1/33 ? 2 + b  geeft  b = 4/33 
4/33 is inderdaad precies 1/3 deel van 43 

       
  b.

       
  c.

Kies de oorsprong in de onderste punt.

?De zwaartelijn van de grote driehoek  heeft  lengte  43
Het zwaartepunt is dus  (0, 8/33) 
De oppervlakte is 163 

De zwaartelijn van een kleine driehoek is 2
De zwaartepunten zijn dus  (-2, 43 + 2/3)  en  (2, 43 + 2/3) 
De oppervlakte is 4 

y-cordinaat van het zwaartepunt:
163 ? 8/33 + 4(43 + 2/3 )+ 4 ? (43 +  2/3) = (163 + 4 + 4) ? yZ  ?
 (400/3 + 323)  = (163 + 8) ? yZ 
   
       
11. a.
    die zijn evenwijdig als de ene een aantal keer de andere is.
dat betekent dat de verhouding tussen de x-kentallen hetzelfde is als de verhouding tussen de y-kentallen.
dus  -p/(2p - 5) = (2p - 5)/(p - 5) 
(2p - 5)(2p - 5) = -p(p - 5)
4p2 - 10p - 10p + 25 = -p2 + 5p
5p2 - 25p + 25 = 0
p2 - 5p + 5 = 0
p = (5 5)/2 
voor p = (5 -  5)/2  hebben de vectoren gelijke richting
dat is p = 1,38
       
  b.
    5xZ = 10 - 2p + 4p + 5  geeft  5xZ = 15 + 2p
5yZ = 4p + 2p + 5  geeft  5yZ = 6p + 5
Dat ligt op y = x als  15 + 2p = 6p + 5
Dan is p = 2,5
De cordinaten zijn dan  (4, 4)
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)