© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     
1. Hele vierkant: 8 ·8 = 64
E:  0,5 ·1 · 8 = 4
A:  0,5 ·7 · 2 = 7
B:  0,5 · 2 ·5 = 5
C:   2
D:  0,5 · 1 · 6 = 3
Het groene deel is dan  64
- 4 - 7 - 5 - 2 - 3 = 43

Daar moet het witte gat nog van af
Hele rechthoek daaromheen:  5 · 4 = 20
I:  0,5 · 2 · 3 = 3
H: 0.5 · 1 · 6 = 3
G:  0,5
F:  2
J:  2
het gat is dus 20
- 3 - 3 - 0,5 - 2 - 2 = 9,5

Het groene deel is dan  43
- 9,5 = 33,5

       
2. Trek lijnstukken vanaf alle hoekpunten naar het midden.
Een hoek in het midden is  40º
tan 20º = 2/h  geeft  h = 5,49  voor de hoogte van een driehoek
de oppervlakte van zo'n driehoek is dan 0,5 • 4 • 5,49 = 10,99
de hele negenhoek heeft dan oppervlakte 9 • 10,99 = 98,91
       
3. Zie de tekening hiernaast.

BS = SQ = 3,5
sinα = 3,5/6 ⇒  α = 35,69º
sinβ = 3,5/4 ⇒  β = 61,04º

SN = 6cosα = 4,87
SM = 4cosβ = 1,94

  MN = 4,87  +1,94 = 6,81
De oppervlakte van driehoek MNP is  1/2 • 6,81 • 3,5 = 11,92

De cirkelsector vanaf N met hoek α heeft oppervlakte
35,69/360 π • 62 = 11,21
De cirkelsector vanaf M met hoek β heeft oppervlakte 
61,04
/360π • 42 = 8,52
       
4. De driehoek heeft hoeken van 30º en 60º en 90º

Het bovenste cirkeldeel heeft oppervlakte
30
/360π • 32 = 3/4π
Het onderste cirkeldeel heeft oppervlakte
60
/360π • 32 = 11/2π

Als de rechtopstaande zijde lengte x heeft,
dan geldt  tan60º = x/4
x = 4 • tan60º = 43
De oppervlakte van de driehoek is dan 
 1/2 • 4 • 43 = 83

Het gekleurde deel heeft oppervlakte 83 - 21/4π

       
5. Driehoek MNP heeft zijden  4 en 7 en 8.
De cosinusregel geeft:
42 = 72 + 82 - 2 • 7 • 8 • cosα  ⇒ α ≈ 29,99º
Dan heeft het cirkeldeel met hoek α een oppervlakte van   29,99/360π • 72 ≈ 12,83
Verder is  QN = 7 cosα ≈ 6,06  en 
PQ = 7 • sinα ≈ 3,50
Dus driehoek PQN heeft oppervlakte
0,5 • 6,06 • 3,50 ≈ 10,61
Voor het groene cirkeldeel blijft dan over 
12,83 - 10,61 = 2,22

  Op dezelfde manier vind je voor het rode cirkeldeel een oppervlakte van ongeveer 5,13.
Het totale overlappende deel van beide cirkels heeft dan oppervlakte:  2 • (5,13 + 2,22) ≈ 14,70
       
6. Zie de figuur hiernaast. Daar staan allemaal 1-1-2 driehoeken.

In de linkerfiguur is de oppervlakte van het vierkant x2 en de oppervlakte van de driehoek
1
/2 • 2x • 2x = 2x2
Het vierkant is de helft van de driehoek.

In de rechterfiguur is de oppervlakte van het vierkant y2 en de oppervlakte van de driehoek  
1/2 • (y2 + y/2)2
y/
2 = 1/2y2, dus dat geeft voor de oppervlakte:
 
1/2 • (11/2y2)2 = 1/2 • 21/4y2 • 2 = 21/4y2
Het vierkant is  1/2,25 = 4/9 deel van de driehoek.

       
7. De blauwe hoek is 30º
Als het blauwe hoogtelijntje lengte h heeft, dan geldt: 
tan30º = h/2,5
h = 2,5 • tan30º = 2,5 • 1/33
De oppervlakte van de witte driehoek bovenaan is dan
 1/2 • 5 • 21/21/33 = 25/123

De hele zeshoek bestaat uit 6 gelijkzijdige driehoeken met zijden 5 (zie de rode lijnen)
Zo'n driehoek heeft hoogte H:   H2 = 52 - 2,52
H = 18,75
De oppervlakte is dan 
6 • 1/2 • 5 • 18,75 = 1518,75

  Voor de ster blijft dan over:  1518,75 - 6 • 25/123 = 43,30
       
  Zie de figuur hiernaast.
de ruit ABCD is 1/3 deel van de zeshoek.
de driehoek ACD is de helft van de ruit, dus 1/6 deel van de zeshoek.
De driehoekjes a, b. en c zijn even groot (zelfde basis en zelfde hoogte) dus elk is 1/18 deel van de zeshoek.

Van de hele zeshoek gaan zes driehoekjes van 1/18 af,
dus blijft over 1 - 6/18 = 1 - 1/3 = 2/3 deel.

       
8. Stel FH = FG = x
Driehoeken  BHF en BAE zijn gelijkvormig.

     
 
BH
 
HF
x
BF
 
BA
4
AE
6
BE
 
     
  Daaruit volgt  BH = 4 • x/6
Maar ook is  BH = 4 - (AB - GF)
2/3x = 4 - x
12/3x = 4
x = 2,4
  Oppervlakte CBE = 1/2 • 2 • 6 = 6
Oppervlakte CBF = 1/2 • 2 • 2,4 = 2,4
Oppervlakte CFE = 6 - 2,4 = 3,6
       
9. Teken in de driehoek ABC alle drie de hoogtelijnen.
Je ziet dat het groene deel 1/3 van de driehoek is.
Maar die driehoek is 1/6 van de zeshoek.
Het groene deel is dus  1/31/6 = 1/18 van de zeshoek.
Dat is 55/9%

       
10 MC2 = 82 - 42 = 48  dus  MC = 43

omdat ∠MAD = 60º en MA = MD  zijn de driehoeken MAD en MEB ook gelijkzijdig.

Oppervlakte MDCE is 
1
/2 • DE • 1/2MC • 2 = 4 • 23 = 83
Oppervlakte cirkeldeel MDE is 
60
/360π • 42 = 22/3π

Het gekleurde deel heeft dan oppervlakte 
83 - 22/3π

       
11. Het gele deel is wat je krijgt als twee kwartcirkels elkaar overlappen in een vierkant (zijde 1). Het gele deel is hoeveel die beide kwartcirkels samen meer zijn dan het vierkant.
De cirkels hebben oppervlakte  0,5πr2 =  0,5π
Het vierkant heeft oppervlakte 1
Het gele deel heeft dus oppervlakte 0,5π - 1

De totale gele oppervlakte is dan  vierkant - 8 halve cirkels + 8 gele citroenen (want die zijn er elk tweemaal afgehaald)
=  16 - 8 • 0,5π • 12 + 8(0,5π - 1)
=  16 -  4π + 4π - 8
=  8

       
12. MN = NP = MP = r
Dus de hoeken van MNP zijn 60°

cirkelsegment MNP heeft oppervlakte  60/360 ·pr2
= 1/6
pr2  
Voor de hoogte h van driehoek MNP geldt:
h2 = r2
- (1/2r)2 = 3/4r2
dus h = r ·
√(3/4)
De oppervlakte van driehoek MNP is dan
0,5 · r ·  r · √(3/4) = 0,25r2 √3

De bovenste helft van het overlappende deel van de cirkels heeft oppervlakte van twee cirkelsegmenten min de driehoek
Dat is 1/3pr2 - 0,25r2√3
Het overlappende deel van de cirkels is het dubbele daarvan:  2/3pr2 - 1/2r2√3
Dat is  r2(2/3p - 1/2√3)1,228r2 
Dat is  1,228/p = 0,391ste deel van de hele cirkel
Dat is ongeveer 39%