1

			© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1.	a.	x² - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1) 2x - 2 = 2(x - 1) dan blijft over 0,5x - 1
		voor x = 1 wordt de noemer nul, maar dan gaat de grafiek naar ¹/₂ · 1 - 1 = -¹/₂ er is daarom een perforatie (1, -¹/₂)

	b.	2x² + 18x + 28 = 2(x² + 9x + 14) = 2(x + 7)(x + 2) Dan blijft over 2x + 4 voor x = -7 wordt de noemer nul, maar dan gaat de grafiek naar 4 · -7 + 4 = -24 er is daarom een perforatie (-7, -24)

	c.	voor x = -3 is de noemer nul en dan staat er ⁶/₀ dus dat is een verticale asymptoot.

	d.	x³ + 3x² + 2x = x(x² + 3x + 2) = x(x + 2)(x + 1) x² - 2x = x(x - 2) voor x = 0 en x = 2 wordt de noemer nul. voor x = 2 geeft dat y = ¹²/₀ dus is er een verticale asymptoot. voor x = 0 gaat de functie naar ²/_-2 = -1 dus er is een perforatie (0, -1) 2.

2.	a.	een functie die door (3,6) gaat is bijvoorbeeld y = 2x je maakt een perforatie bij x = 3 door te vermenigvuldigen met ^{(x - 3)}/_{(x - 3)} dat wordt dan y = ^{2x(x - 3)}/_{(x - 3)}

	b.	de factor ^{(x - 3)}/_{(x - 3)} geeft een perforatie bij x = 3 de factor ¹/_{(x - 4)} geeft een asymptoot bij x = 4. samen zou iets als y = ^{(x - 3)}/_{(x - 3)(x - 4)} kunnen.

	c.	neem de horizontale lijn y = 4 maak een perforatie door te vermenigvuldigen met ^{(x - 3)}/_{(x - 3)}dat geeft y = ^{4(x - 3)}/_{(x - 3)}

3.	a.	Er is een perforatie als er bij invullen ⁰/₀ uitkomt. x³ + x² - 2x = 0 x(x² + x - 2) = 0 x(x - 1)(x + 2) = 0 x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = -2 Voor deze waarden moet de noemer dan ook nul worden. x = 0 geeft 0² + 3•0 + p = 0 ofwel p = 0 x = 1 geeft 1² + 3•1 + p = 0 ofwel p = -4 x = -2 geeft (-2)² + 3•-2 + p = 0 ofwel p = 2

	b.	x² + 3x + p moet dan niet nul worden. Dat is zo als de discriminant D < 0 3² - 4•1•p < 0 9 - 4p < 0 4p > 9 p > ⁹/₄ Verder is er ook geen asymptoot als er een perforatie is, dus extra bij p = 0, 2 en -4

4.
	De grafiek van f is gewoon de rechte lijn y = x + 2 met een perforatie bij (1, 3) De lijn y = 2x + p snijdt f dus altijd, behalve als dat snijpunt precies die perforatie is! Dan moet y = 2x + p door het punt (1,3) gaan 3 = 2 • 1 + p geeft p = 1

5.	er moet ⁰/₀ uit de breuk komen, dus moet 4x² - 10x + 4 = 0 geeft x = ¹/₂ ∨ x = 2 Dan moet 2x - a ook nul zijn x = ¹/₂ geeft 2 • ¹/₂ - a = 0 dus a = 1 x = 2 geeft 2 • 2 - a = 0 dus a = 4 De grootste is a = 4 4x² - 10x + 4 = (x - 2)(4x - 2) delen door 2x - 4 = 2(x - 2) geeft als overblijfsel y = ^{(4x - 2)}/₂ = 2x - 1 De perforatie is dan (2, 3)

6.	Vermenigvuldig teller en noemer met e^x :

	Voor e^x - 1 = 0 is er een perforatie, dus dat is voor x = 0 De perforatie is dan gelijk aan e^x/₃ = ¹/₃ De coördinaten zijn dus (0, ¹/₃)

7.	Als je flauw bent kun je nu zeggen "Een parabool met een perforatie in zijn top is geen parabool", maar ik hoop dat je begrijpt wat er met de vraag bedoeld wordt..... De simpelste parabool die ik ken is y = x² en die heeft top bij x = 0 Maak een perforatie door de factor ^x/_x toe te voegen: y = ^x^³/_x

8.	Voor een kans op een perforatie moet er ⁰/₀ staan cosx = 0 en p - sin²x = 0 Als cosx = 0 dan is sinx = ±1 dus staat erin de tweede vergelijking p - 1 = 0 dus p = 1 Dat geeft: f(x) = ^cosx/_cos2_x = ¹/_cosx Als x nu naar ¹/₂π gaat (dan is cosx = 0) dan gaat f(x) naar ∞ Dat betekent dat er geen perforatie is (maar een verticale asymptoot)