© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a.
    dus p  = 3
de asymptoot is y = px + 1 - p
dat is dus de lijn y = 3x - 2
dus b = -2 
       
  b. De perforatie moet zitten bij  x = -1 want dan wordt de noemer nul.
Dan moet de teller ook nul zijn:   p · (-1)2 + -1 - 1 = 0
dat geeft  p = 2
(2x² + x - 1)/(x + 1)  =  (2x -1)(x + 1)/(x + 1) = 2x - 1
De grafiek is de lijn  y = 2x - 1 met een perforatie  (-1, -3)
       
  c. Een horizontale asymptoot kan alleen als p = 0
Dan is de functie  y = x - 1/x + 1  en die heeft asymptoot  y = 1
       
  d.
    Dat is nul als de teller nul is:
2px2 + 2px + x + 1 - px2 - x + 1 = 0
px2 + 2px + 2 = 0
Dat heeft geen oplossing als de discriminant kleiner dan nul is:
(2p)2 - 8p < 0
4p2 - 8p = 0
4p(p - 2) = 0
p = 0  ∨  p = 2
de discriminant is kleiner dan nul als  0 < p < 2 en dan zijn er dus geen extremen. 
       
2. a. De breuk moet naar 1 gaan
Dus moet p gelijk zijn aan 4.
Dan is de verticale asymptoot de lijn x = 1
       
  b.
    De scheve asymptoot is de lijn y = 4x - 4
       
  c. y = 3 +  (3x - 2)/(4x - 3)
x = 3 +  (3y - 2)/(4y - 3) 
x(4y - 3) = 3(4y - 3) + 3y - 2
4xy - 3x = 12y - 9 + 3y - 2
4xy - 15y = 3x - 11
y(4x - 15) = 3x - 11
y = (3x - 11)/(4x - 15)
       
  d. dan moet gelden 4x - p = 0  ∧  px - 2 = 0
de eerste geeft  p = 4x
invullen in de tweede:  4x2 - 2 = 0
x2 = 0,5
x = ±Ö0,5
dan is p = ±4Ö0,5 = ±2Ö2
y = 3 + (2xÖ2 - 2)/(4x - 2Ö2)   of   y = 3 + (-2xÖ2 - 2)/(4x + 2Ö2)
y = 3 + (xÖ2 - 1)/(2x -Ö2)   of   y = 3 + (-xÖ2 - 1)/(2x + Ö2)  
y =  3 + 0,5Ö2  of  y =  3 - 0,5Ö2
Dat zijn dus horizontale lijnen.
       
  e.
       
    noemer uitwerken:
4x2 + 4x - px - p
delen door 2 geeft  2x2 + 2x - 0,5px - 0,5p
Dan zou p gelijk moeten zijn aan 2

teller uitwerken:
48x3 - 12x - 12px2 + 3p + 4px3 - px - 8x2 + 2
(48 + 4p)x3  - (12p + 8)x2 - (12 + p)x + (3p + 2)
p = 2 geeft  56x3 - 16x2 - 14x + 8
delen door 2 geeft inderdaad de gegeven teller.
       
  f. 2x2 + x - 1 = 0
x =  (-1 ±Ö9)/4  =  -1 of   0,5
x = -1  geeft teller -33 dus een verticale asymptoot x = -1
x = 0,5 geeft  teller 0  dus een perforatie
     
   
    dat wordt dus   (28x² - 2x - 8)/(2x + 2)
x = 0,5 geeft dan  -2/3  dus de perforatie is  (0.5, -2/3)
     
   
    De scheve asymptoot is de lijn  y = 14x - 15.
       
3. a. x2 + 2x - 3 = 0  geeft  x = 1  en  x = -3
x = 1  geeft als teller 0 dus 0/0 dus dat is een perforatie
x = -3 geeft als teller 12 dus een verticale asymptoot x =  -3

als x oneindig groot wordt gaat de breuk  naar  -8 dus de horizontale asymptoot is de lijn y = -8
       
  b. x = 1  geeft als teller 0 dus 0/0 dus dat is een perforatie
dan is  y = (3x² + 3x - 6)/(x² + 2x - 3) = 3(x - 1)(x + 2)/(x - 1)(x + 3) = 3(x + 2)/(x + 3) = 9/4
de perforatie is (1, 9/4)
De grafiek is   y =  3(x + 2)/(x + 3)
       
  c.
    Dus moet a gelijk zijn aan 4:
   
    dus b = -5
       
  d. x2 + 2x - 3 = 0  geeft  x = 1  en  x = -3
dan moet voor deze x-waarden de teller ook nul worden.

x = 1  geeft  a + 3 + 3 - 6 = 0  dus  a = 0
x= -3  geeft  -27a + 27 - 9 - 6 = 0  dus  a = 12/27 = 4/9