|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||
 |
|||
| 1. | x2
= 6 - x x2 + x - 6 = 0 (x - 2)(x + 3) = 0 x = 2 ∨ x = -3 |
||
 |
|||
| = (12 -
2 - 8/3)
- (18 - 41/2
+ 9) = 125/6 De oppervlakte tussen x = p en x = 2 moet dus 125/12 zijn. |
|||
 |
|||
| = (12 -
2 - 8/3)
- (6p -
1/2p2
- 1/3p3)
= 125/12 22/3 - 6p + 1/2p2 + 1/3p3 = 125/12 Y1 = 22/3 - 6X + 0,5X^2 + X^3/3 Y2 = 125/12 intersect geeft p = -0,50 |
|||
| 2. | Hiernaast zie je drie
vlakdelen A1, A2 en B. 4/x2 = 16 x2 = 1/4 x = 1/2 (∨ x = -1/2) A1 heeft oppervlakte 0,5 · 6 = 8 |
 |
|
 |
|||
| Samen heeft gebied A oppervlakte 16 - 4/a | |||
 |
|||
| A = 2B geeft dan
16 - 4/a = 2(-1/4 +
4/a) 16 - 4/a = -1/2 + 8/a 161/2 = 12/a a = 8/11 |
|||
| 3. | a. |
 |
 |
| = -((4 - 8) - (0)) = 4 | |||
| dus het stuk rechts van 2 moet oppervlakte 6,25 hebben | |||
 |
|||
|
= (1/4p4
- 2p2
) - (4 - 8) =
6,25 1/4p4 - 2p2 - 2,25 = 0 p4 - 8p2 - 9 = 0 (p2 - 9)(p2 + 1) = 0 p2 = 9 p = 3 |
|||
| b. |
 |
||
| = (0)
- (4 - 8
- 2a) = 4 + 2a 4 + 2a = 20 a = 8 |
|||
| 4. | a. | x2 + x
+ 1 = 6,2x x2 - 5,2x + 1 = 0 ABC-formule: x = (5,2 ±√(27,04 - 4))/2 = 5 of 0,2 f(x) = x + 1 + 1/x |
|
 |
|||
| = (26 - 12,5 - ln(5)) - (1,04 - 0,02 - ln(0,2)) = 12,48 - 2ln(5) | |||
| b. |
 |
||
| = ln(p)
- ln(1) = ln(p) lnp = 2 geeft p = e2 |
|||
| 5. | pex
- e2x = 0 ex(p - ex) = 0 x = ln(p) |
||
 |
|||
| = (p2
- 0,5p2)
- (p -
0,5) = 2 0,5p2 - p + 0,5 = 2 p2 - 2p - 3 = 0 (p - 3)(p + 1) = 0 p = 3 |
|||
| 6. | Als de x-coördinaten
van de hoekpunten van de rechthoek p en -p zijn, is de
breedte 2p De hoogte is dan y2 - y1 = 2 - 0,25p2 - 0,25p2 = 2 - 0,5p2 De oppervlakte van de rechthoek is (2 - 0,5p2) • 2p = 4p - 2p3 Die oppervlakte is maximaal als de afgeleide ervan nul is: 4 - 6p = 0 Dat is voor p = 2/3 en dan is de oppervlakte 56/27 0,25x2 = 2 - 0,25x2 0,5x2 = 2 x2 = 4 x = 2 ∨ x = -2 |
||
 |
|||
| = (4
- 4/3)
- (-4 + 4/3) = 51/3 Dat is dan maximaal (56/27) / (16/3) = 7/18 deel en dat is 38,9% |
|||
| 7. | Eerst maar de oppervlakte onder de grafiek van f: | ||
 |
|||
| = (16
- 51/3)
- (0) = 102/3 Driehoek OAB heeft oppervlakte 8 Dus heeft het onderste vlakdeel in het trapezium oppervlakte 22/3 Dus het bovenste ook, dus het hele trapezium heeft oppervlakte 51/3. Trapezium plus OAB hebben samen oppervlakte 131/3 Dus 0,5c2 = 131/3 c2 = 262/3 c = √(262/3) |
|||
| 8. | a. |
 |
|
| -2cos(p
- p) + 2cos(p) cos(π - p) = -cos(p) dat geeft A(p) = - -2cosp + 2cos(p) = 4cos(p) |
|||
| b. | Als die oppervlakten gelijk zijn, dan is W de
helft van A. Dus W = 2cos(p) De breedte van W is π - p - p = π - 2p De hoogte van W is 2sin(p) De oppervlakte van W is dan (π - 2p) • (2sin(p) Dus moet gelden (π - 2p) • (2sin(p) = 2cos(p) Y1 = (π - 2p) • (2sin(p) Y2 = 2cos(p) intersect levert p ≈ 0,41 |
||
| 9. | a. | Dan is
de afgeleide nul. f ' = 2x • ln2 + 2-2x • ln2 • -2 = 0 ln2 • (2x - 2 • 2-2x) = 0 2x - 2 • 2-2x = 0 2x = 2 • 2-2x 2x = 2-2x + 1 x = -2x + 1 3x = 1 x = 1/3. |
|
| b. | De oppervlakte in de linkerfiguur: | ||
 |
|||
| = 1/ln2
• (2 -
1/8
- 1/2
+ 2) = 1/ln2 • 27/8 ≈ 4,8691 De oppervlakte rechts is 2k 2k = 4,8691 geeft k ≈ 2,43 |
|||
| 10. | f '(x)
= gx • lng dus f ' (0)
= lng De raaklijn is de lijn y = lng • x + 1 De oppervlakte onder de raaklijn tussen x = 0 en x = 1 is dan 1 + 1/2lng De oppervlakte onder de grafiek van f tussen x = 0 en x = 1 is gelijk aan: |
||
 |
|||
| V heeft oppervlakte
(g - 1)/lng
- 1 -
1/2lng Y1 = (X - 1)/ln(X) - 1 - 0,5ln(X) Y2 = 1 intersect geeft X = g = 6,49 |
|||
| 11. | a. |
 |
|
| = 1/2lng • (2 - 1 - 2g-a + g-2a ) | |||
 |
|||
| b. | Als a naar
oneindig gaat, dan gaan de tweede en derde term tussen de haakjes beiden
naar nul. Die worden dus te verwaarlozen ten opzichte van de 1. De oppervlakte wordt dus 1/2lng 1/2lng = 1 betekent lng = 1/2 dus g = √e |
||
| 12. | a. |
 |
|
| = 1/4 - 1/2 = 1/20 | |||
| b. |
 |
||
| 650(a + 2)
-
650(a + 1) = (a + 1)(a + 2) 650a + 1300 - 650a - 650 = a2 + 3a + 2 a2 + 3a - 648 = 0 (a - 24)(a + 27) = 0 a = 24 (∨ a = -27 maar die valt af.) |
|||
| 13. | snijpunten: x2 = ax x = 0 ∨ x = a |
||
 |
|||
| =
1/2a3
- 1/3a3
= 1/6a3 1/6a3 = a2 1/6a3 - a2 = 0 a2(1/6a - 1) = 0 a = 0 ∨ a = 6 |
|||
| 14. | Leg de oorsprong in
de linkeronderhoek. Dan is de formule van de parabool y = px2 Die moet door (a, b) gaan dus b = pa2 ⇒ p = b/a2 |
||
 |
|||
| De hele rechthoek heeft oppervlakte ab dus onder de grafiek ligt inderdaad 1/3 deel, dus erboven 2/3 deel, dus de verhouding tussen die delen is 1 : 2 | |||
| 15. | Snijpunten:
a2 = ax2 x2 = a x = ±√a |
||
 |
|||
| (a2
Öa
-
1/3a
· aÖa)
-
(-a2
Öa
+
1/3a
· aÖa)
= 4/3a2Öa 4/3a2,5 = 324 a2,5 = 243 a = 2431/2,5 = 9 |
|||
| 16. | Het wordt de grafiek y = 1/(x - a) | ||
 |
|||
| ln(2(3
- a)/3(2
- a))
= 1 2(3 - a)/3(2 - a) = e 6 - 2a = 6e - 3ea a(3e - 2) = 6e - 6 a = (6e - 6)/(3e - 2) = 1,675 |
|||