© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a. 6/x is voor grote x te verwaarlozen dus blijft over y = 5 - 4x
       
  b. 4/(x - 5) is voor grote x te verwaarlozen dus blijft over y = 6 + 2x
       
  c. 6x/x2 is voor grote x te verwaarlozen dus blijft over y = 5 + x
       
  d. 100/(x + 1) en 200/(x + 2) zijn beiden voor grote x te verwaarlozen dus blijft
over y = 5 + 2x
       
  e. 2-x is voor grote x te verwaarlozen dus blijft over y = 3 - 4x
       
  f. 5 • 3x  is voor hele grote negatieve x te verwaarlozen dus blijft over y = 4 - x  (aan de linkerkant van de grafiek dus)5 • 3x  is voor hele grote negatieve x te verwaarlozen dus blijft over y = 4 - x  (aan de linkerkant van de grafiek dus)
       
  g. voor grote x wordt de teller gelijk aan 2x en de noemer gelijk aan  -x
de hele breuk wordt dan  2x/-x = -2
dan blijft over y = -2 - 3x
       
  h. voor grote x wordt de teller gelijk aan 6x2 en de noemer gelijk aan  2x2
de hele breuk wordt dan  6x2 /2x2 en dat wordt ongeveer 3
dan blijft over y = 3 + 4x + 1 = 4 + 4x
       
2. a.
    Voor grote x wordt dat laatste deel nul, dus is de asymptoot y = 5x + 3
       
  b.
    Dat tweede deel gaat (voor grote x) naar nul, dus blijft over y = 4 + 3x
       
  c.
    De eerste van de drie termen gaat naar nul voor grote x, dus blijft over y = 2x + 1/3
       
3. a.
    De asymptoot is de lijn y = 1/2x + 1/4
       
  b.
    De asymptoot is de lijn y = 3x + 21
       
  c.
    De scheve asymptoot is de lijn y = x - 2
       
4. a. De grafiek wordt een rechte lijn als die x in de noemer wegvalt.
     
    Als p = 0  valt p + x weg tegen de x in de teller en blijft de rechte lijn  y = x + 4 over
Als p = 4 valt p + x weg tegen de x + 4 in de teller en blijft de rechte lijn y = x over.
       
  b.
    Voor grote x wordt die laatste breuk ongeveer nul, dus de scheve asymptoot
is de lijn y = x + 1
       
  c.
    Bij de x staat 6 + p rechts en 4 links en dus moet 6 + p gelijk worden aan 4.
Dan is p = -2
       
5. f1(x) = (x³+ 4)/x² = x + 4/x² 
Als x naar oneindig gaat, dan gaat die breuk naar nul.
de scheve asymptoot is dus de lijn y = x
omdat x2 > 0  is dus ook 4/x²  > 0  dus   x + 4/x²  > x
dus ligt de grafiek van f(x) boven de scheve asymptoot.
       
6. a. n = 0 invullen geeft  S(0) = 1200/1 = 1200
       
  b.  
    Die laatste breuk gaat naar nul voor grote n dus blijft over S = 800(n + 3) = 800n + 2400
       
  c. Uiteindelijk zal het salaris met 800 per jaar toenemen; de helling van de scheve asymptoot
       
  d. Voor het salaris van Jolein geldt S(n) = 6000 + 600n
gelijkstellen: (800n² + 3200n + 1200)/(n + 1) = 6000 + 600n
800n2 + 3200n + 1200 = (6000 + 600n)(n + 1)
800n2 + 3200n + 1200 = 6000n + 6000 + 600n2 + 600n
200n2 - 3400n - 4800 = 0
n2 - 17n - 24 = 0
de ABC formule geeft n = 18,3  (en  n = -1,3 maar die kan niet)
Bij n = 18 á 19 jaar zullen ze hetzelfde salaris hebben
       
  e. 800n + 2400 = 6000 + 600n
200n = 3600
n = 18
Dat scheelt dus amper. 
       
7. raaklijn in P
f '(x) = 1 - 2x-2
f '(p) = 1 - 2/p²
De raaklijn is  y = (1 - 2/p²)x + b en gaat door  (p, p + 2/p)
Dat geeft  p + 2/p  =  (1 - 2/p²) • p + b
p + 2/p =  p - 2/p + b
b = 4/p
De raaklijn is  y =  (1 - 2/p²)x + 4/p 

De verticale asymptoot is x = 0  dus dat geeft  Q = (0,  4/p)

De scheve asymptoot is  y = x   (voor grote x kun je 2/x verwaarlozen)
(1 - 2/p²)x + 4/p   = x
4/p =  2/p²  • x 
x = 2p  dus  R =  (2p, 2p)

Het midden van QR is    (0,5(0 + 2p),  0,5(4/p + 2p)) = (p,  2/p + p)
Dat is inderdaad punt P 
       
8. Als x naar oneindig gaat dan gaat 1/x naar nul.
Dus gaat dan f(x) naar 2x
De scheve asymptoot is de lijn y = 2x
 
  = ln(2a) - ln(a)
= ln(2) + ln(a) - ln(a)
= ln(2)
Dat is dus onafhankelijk van a
       
9. a.
    f '(0) = ((-2 • -3) - 0)/9  = 2/3
       
  b. De verticale asymptoot is  x = 3
Maak een staartdeling:
   
    Die laatste breuk gaat naar nul, dus de scheve asymptoot is de lijn y = x + 1
Dan is S het punt  (3, 4)
Twee naar rechts en b omhoog geeft de functie:
   
    (3, 4) invullen geeft  4 = (1 - 2 • 1)/(-2) + b
4 = 1/2 + b
b = 31/2