© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a. f(x) = 27x3 - 108x2 = 0
x2(27x - 108) = 0
x = 0  ∨  x = 4
tussen 0 en 4 ligt de grafiek onder de x-as
tussen 4 en 5 ligt de grafiek boven de x-as.
   
   
    = (42183/4 - 4500) - (1728 - 2304) = 2943/4

Samen wordt dat  8703/4
       
2. a.  x2 - 5 = -2x - 2
x2 + 2x - 3 = 0
(x - 1)(x + 3) = 0
x = 1  ∨  x = -3
   
    = (-1 + 3 - 1/3) - (-9 - 9 + 9) = 102/3  
       
  b. 2√x - 2  = 4 - √x
3√x = 6
√x = 2
x = 4
   
    = (24 - 216)  - (0) = 8  
       
  c. 6x2 - 2x - x3 - 4 = 2x2 - 14x - 4
4x2 + 12x - x3 = 0
-x(x2 - 4x - 12) = 0
-x(x - 6)(x + 2) = 0
x = 0  ∨ x = 6  ∨  x = -2
tussen -2 en 0 ligt  g  boven f
tussen 0 en 6 ligt  f  boven g
   
    = (0) - (4 + 102/3 - 24) = 91/3
   
    = (-324 + 288 + 216) - (0) = 180
    Samen is dat  1891/3
       
3. 2x2 - 4 = 8 - x2
3x2 = 12
xB = -2  en   xD = 2

2x2 - 4 = 2x
x2 - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
xC = -1  en  xD = 2

8 - x2 = 2x
x2 + 2x - 8 = 0
(x - 2)(x + 4) = 0
xA = -4  en   xD = 2

 
 
  = { (-16 + 8/3 - 4) - (-32 + 64/3 - 16)}  +  {(-2/3 + 4 - 1) - (-16/3 + 8 - 4)}
=   (-171/3 + 262/3) + (21/3 + 11/3)
=  91/3 + 32/3
= 13
       
 
  = (-8 + 1/3 + 2/3 - 4) - (-16 + 8/3 + 16/3 - 8)}   +   {(16 - 8/3 - 4) - (-8 + 1/3 - 1)}
= (-11 + 16) + (91/3 + 82/3)
= 5 + 18
= 23 
       
 
  =  {(4 - 16/3 + 8) - (1 + 2/3 - 4)}
=  62/3 + 21/3
= 9
       
4. a. f ' (x) = 0,5 • (x - 1)-0,5  dus  f '(10) = 0,5 • (9)-0,5 =  1/6 en dat is het hellinggetal van de raaklijn.
De raaklijn heeft dus vergelijking y = (1/6)•x + b
b kun je vinden door het raakpunt (10,3) in te vullen:  3 = 10•(1/6) + b dus  b = 4/3
Daarmee is de vergelijking geworden  y = 1/6 • x + 11/3
       
  b. Bereken de oppervlakte onder de rechte lijn en trek er daarna de oppervlakte onder de wortel vanaf.
   
   
    De gevraagde oppervlakte is dus  het verschil tussen deze twee en is  32/3
       
5.
  = (5000 - 3571,59) - (0) = 1428,41

De Ginicoëfficiënt is dan  1428,41/5000 = 0,286
       
6. a. De bovenste helft van de cirkel met middelpunt N is gegeven :  y = √(9 - x2)

De onderste helft van de cirkel met middelpunt M krijg je door de onderste helft van de cirkel met middelpunt N over een afstand 3 omhoog te schuiven. De vergelijking was  y = -√(9 - x2) en wordt dus nu y = -√(9 - x2) + 3
       
  b. √(9 - x2) = -√(9 - x2) + 3
2√(9 - x2) = 3
√(9 - x2) = 1,5
9 - x2 = 2,25
x2 = 6,75
x =  ±√(6,75)
       
  c. Y1 = √(9 - X^2) - 3 + √(9 - X^2)
calc - en dan de integraal van  -√6,25 tot √6,25
dat geeft oppervlakte ongeveer 11,02
       
7. a. eerst maar eens de snijpunten:

x2 - 4x = -2x + 3
x2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x = 3 ∨  x = -1

-2x + 3 = x
 3x = 3
x = 1

x2 - 4x = x
x2 - 5x = 0
x(x - 5) = 0
x = 0  ∨ x = 5
    De drie gebieden zijn elk in weer twee andere gebieden te verdelen:
gebied I is  a en b
gebied II is c en d
gebied III is  e en f
   
    = (0) - (1 - 3 + 1/3) + (-3/2 + 3) - (0) = 31/6
   
    = (5/2 - 1/3) - (0) + (9 + 9 - 9) - (1 + 3 - 1/3) = 71/2
   
    = (27/2 - 9) - (3/2 - 3) + (125/2 - 125/3) - (45/2 - 9) = 131/3
       
8. Verdeel het gebied in twee stukken.

gebied I:  tussen x = 1 en x = 2  Daar ligt f  boven g		  
 
  gebied II : tussen x = 2 en x = 4. Daar ligt 6 - x  boven g
 
  Totale oppervlakte is dan 3 - 4/3√2 + 2/3 + 4/3√2 = 32/3  
       
9. y = 4  geeft als snijpunt met 1/x :  x = 1/4
y = 4 geeft als snijpunt met 1/x2  :  x = 1/2
Splits het oppervlak in twee delen:
Tussen x = 1/4 en x = 1/2 het vlakdeel tussen y = 4 en y = 1/x
Tussen  x = 1/2 en x = 1 het vlakdeel tussen y = 1/x2 en y = 1/x   
Dat geeft de som van twee integralen:
 
  = {(2 - ln0,5) - (1 - ln0,25)} + {(-1 - ln1) - (-2 - ln0,5)}
=  2 - ln0,5 - 1 + ln0,25 - 1 - ln1 + 2 + ln0,5
=  2 + ln0,25
= 2 - ln4
       
10. a. x4 - 6x2 - 8x + 5 = -8x
x4 - 6x2 + 5 = 0
noem x2 = p dan staat er  p2 - 6p + 5 = 0
(p - 5)(p - 1) = 0
p = 5  ∨   p = 1
x2 = 5 ∨  x2 = 1
x = √5  ∨  x = -√5  ∨ x = 1  ∨  x = -1
De laatste twee zijn de buigpunten dus de andere snijpunten hebben x-coördinaten x = √5 en x = -√5
       
  b.
    =  (1/5 - 2 + 5) - (-1/5 + 2 - 5)
= 31/5 + 31/5 = 62/5
Dat is inderdaad de gemeenschappelijke oppervlakte van V1 en V3 (31/5 + 31/5)
       
11. a. y = 1  ⇒  1 + x - 2√x = 1
x - 2√x = 0
√x(√x - 2) = 0
√x = 0  ∨ √x = 2
x = 0  ∨  x = 4
   
    =  (-8 + 102/3) - (0) = 22/3  
       
  b. Noem het punt  (p,  1 + p - 2√p)
f '(x) = 1 - 1/√x   dus  f '(p) = 1 - 1/√p
De raaklijn is de lijn  y = (1 - 1/√p) • x + b  en moet door (p,  1 + p - 2√p) gaan.
1 + p - 2√p = (1 - 1/√p) • p + b
1 + p - 2√p = p - √p + b
b = 1 - √p
De raaklijn is de lijn  y = (1 - 1/√p) • x + 1 - √p

snijpunt x-as:   0 =   (1 - 1/√p) • x + 1 - √p
(1 - 1/√p) • x = √p - 1
(√p - 1) • x = p - √p
x = (p - √p)/(√p - 1)  = √p(√p - 1)/(√p - 1) = √p

Snijpunt y-as:    y = 1 - √p   (dat was immers de b van de raaklijn)

OA + OB = √p + 1 - √p  = 1  
       
12. P = (4, 4)  en  R = (4, √8)
 
  =  32/3 - 16/3√2 = 2/3(16 - 8√2)
De oppervlakte van driehoek PRS  is 1/2 •  8 •  (4 - √8)  = 16 - 8√2
De verhouding tussen het vlakdeel en de driehoek is dus  2 : 3
       
13. a. A = (0, e-0) = (0, 1)  en   B = (1, e-1) = (1, 1/e)
AB heeft helling  (1/e - 1) en dus vergelijking  AB:   y = (1/e - 1)x + 1
   
    = (0,5(1/e - 1) + 1 + 1/e) - (1) = 3/(2e) - 0,5  
       
  b. de helling van AB is  1/e - 1 dus moet de afgeleide van f ook gelijk zijn aan 1/e - 1
f ' = -e-x = 1/e - 1
Y1 = -e^(-X) en  Y2 = 1/e - 1  en dan intersect levert x = 0,46