© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1a.
  = π • (1024/3 - 512 + 1024/5) = 512/15π
       
1b. De halve cirkel loopt van x = -4 tot x = 4
 
  = p((64 - 64/3) - (-64 + 64/3)) = 851/3p
4/3πr3 = 4/3π • 43 = 256/3π = 851/3π
       
1c.
  = π • (1296 - 1728 + 648) = 216π
       
2. Het is het vlakdeel tussen x = 0 en x = 1  (los maar op  x = x3)

Wentel eerst de lijn y = x om de x-as:
 
  Wentel vervolgens de grafiek van y = x3 om de x-as:
 
  Vlakdeel V omgewenteld is het verschil tussen die twee:  1/3π - 1/7π = 4/21π
       
3. x√x = ax
x√x - ax = 0
x(√x - a) = 0
x = 0 ∨  √x = a
x = 0  ∨  x = a2
       
  Wentel eerst de lijn y = ax om de x-as:
 
  Wentel vervolgens de grafiek van y = x√x om de x-as:
 
  Het verschil daartussen is 211/3π, dus moet gelden:
1/3a8 - 1/4a8 = 211/3
1/12a8 = 211/3
a8 = 256
a = 2
       
4. a. 9 - x2 ⇒ x = 3 ∨ x = -3
Het is het vlakdeel tussen x = 0 en x = 3
   
    Dus hebben beide delen oppervlakte 9.
   
    Y1 = 9X - 1/3 * X^3 en Y2 = 9 en dan intersect levert  a = 1,042
       
  b.
    Dus hebben beide lichamen inhoud 64,8π
   
    =  (81a - 6a3 + 1/5a5)p = 64,8p
Y1 = 81X - 6X^3 + 0,2X^5  en Y2 = 64,8 en dan intersect levert a = 0,943
       
5. a.
    = ln8 - ln4 = ln(8/4) = ln2  
       
  b.
    = p(-2/8 - - 2/4) = 1/4p  
       
  c. Als de lijn de grafiek raakt moet gelden f ' = -1
f(x) = 2 • (2x + 3)-1
f '(x) = -2(2x + 3)-2 • 2 = -4/(2x + 3)2 = -1
4 = (2x + 3)2
2x + 3 = 2  ∨  2x + 3 = -2
x = -1/2  ∨  x =  -21/2

x = -1/2 geeft raakpunt  (-1/2, 1)  en dan geeft  y = -x + p  dat  p = 1/2
x = -21/2  geeft raakpunt  (-21/2, -1)  en dan geeft  y = -x + p  dat  p = -31/2
       
6. Als bij x = h hoort y = r, is de vergelijking van de lijn die je moet omwentelen  y = r/h • x
 
       
7. De formule van de kromme (cirkeldeel) die je moet omwentelen is  y2 = 36 - x2  (want de straal is 6)
Ik krijg de stukken tussen x = -6 en x = -2  en tussen  x = 2 en x = 6  en die zijn even groot.
Jij krijgt het stuk tussen x = -2 en x = 2.
 
  = p((72 - 8/3) - (-72 + 8/3) = 1382/3p
 
  = 2p((216 - 36) - (72 - 8/3)) = 2211/3p

HA:  ik krijg lekker het meeste!!
       
8. Om de cognac te krijgen moet je het deel tussen x = 3 en x = 5 van de grafiek van y2 = 25 - x2 wentelen om de x-as.
 
  = p((125 - 125/3) - (75 - 9)) = 171/3p


Dat is ongeveer  54,5 cl
       
9. Zie de figuur hiernaast.
h2 + 52 = R2  geeft  h2 = R2 - 25

De inhoud van de cilinder is dan  π • h2 • 10 = 10π • (R2 - 25)

De twee kapjes krijg je door het stuk tussen x = 5 en x = h te wentelen om de x-as:
 
  = 2p(R3 - 1/3R3 - 5R2 + 125/3)
= 4/3πR3 - 10πR2 + 250/3π		  
  De hele bol heeft inhoud 4/3πR3 , dus voor de overgebleven inhoud geldt:
I =  4/3πR3  - (4/3πR3 - 10πR2 + 250/3π + 10π • (R2 - 25))
I = - 250/3π + 250π = 1662/3π
       
10. a. x2 - 6x  = 0
⇒ x(x - 6) = 0 
⇒ x = 0 ∨ x = 6
 
       
  b. x2 - 6x = -x3 
x(x2 + x - 6) = 0
x(x - 2)(x + 3) = 0
x = 0 ∨  x = 2 ∨  x = -3

   
    =  (0) - (-153/4) = 153/4
   
    = (51/3) - (0) = 51/3
Samen geeft dat oppervlakte 211/12		  
       
  c. -x3 = -ax
0 = x3 - ax
0 = x(x2 - a)
x = 0 ∨ x = √a  ∨  x = -√a
   
    =  (-1/4a2 + 1/2a2) - (0) = 9

-1/4a2 + 1/2a2 = 9
1/4a2 = 9
a2 = 36
a = 6
       
11. a. Y1 = (4X + 5)/(X√(X))  en  Y2 = 9 en dan intersect geeft x = 1
Vlakdeel V kun je door de lijn x = 1 te tekenen verdelen in een rechthoek van 1 bij 9 plus een deel onder de grafiek van f

Dat deel loopt van x = 1 tot x = 9
Y1 = (4X + 5)/(X√(X))  en dan   calc - ∫f(x)dx van (X = 1) tot (X = 9) geeft oppervlakte 22,667
De totale oppervlakte is dan  31,667
Het andere deel heeft dan oppervlakte 81 - 31,667 = 49,333
       
  b. Y1 = (4X + 5)/(X√(X))
Y2 = π • Y1^2
calc - ∫f(x)dx van Y2  van (X = 1) tot (X = 9)  geeft inhoud 260,93

Het stuk tussen x = 0 en x = 1 omwentelen geeft een cilinder met inhoud  π• 92 • 1 = 254,47
De totale inhoud wordt dan 515,40
       
  c. Schuif de grafiek 9 omlaag en wentel dan om de x-as.
Y1 = (4X + 5)/(X√(X))
Y2 = π • Y1^2
calc - ∫f(x)dx van Y2  van (X = 1) tot (X = 9)  geeft inhoud 1014,91
       
  d. Y1 = (4X + 5)/(X√X))
Y2 = X
intersect levert snijpunt (3.1489, 3.1489)
Het vlakdeel bestaat uit een driehoek en een deel onder de grafiek van f

de driehoek omwentelen levert een kegel met inhoud  1/3 • π • 3,14892 • 3,1489 = 32,70

het deel onder de grafiek van f omwentelen:
Y1 = (4X + 5)/(X√X))
Y2 = π • Y1^2
calc - ∫f(x)dx van Y2  van (X = 3,1489) tot (X = 9)  geeft inhoud  82,21

Samen geeft dat een inhoud van 114,91
       
12. x2 - 2x = x
x2 - 3x = 0
x(x - 3) = 0
x = 0 ∨ x = 3
Schuif alles 4 omlaag, dan kun je wentelen om de x-as
De formules worden dan   y = x2 - 2x - 4  en  y = x - 4
 
 
  De inhoud daartussen is dan 51,6π - 21π = 30,6π
       
13. x + 3 - 4√x = 3
x - 4√x = 0
√x(√x - 4) = 0
√x = 0  ∨  √x = 4
x = 0  ∨  x = 16

Schuif alles 3 omlaag dan kun je wentelen om de x-as
De formule wordt dan  y = x - 4√x
 
       
14. a. Zoek het minimum van f
f ' = 1 • √(x + 3) + x • 1/2√(x + 3) = 0
vermenigvuldig met  2√(x + 3), dan krijg je   2x + 6 + x = 0
3x = -6 ⇒ x = -2 ⇒  y = -2 • √1 = -2
Het bereik van f is dus  [-2, →〉
       
  b. x√(x + 3) = √(x + 3)/x
x2 √(x + 3) - √(x + 3) = 0    (en  x ≠ 0)
√(x + 3) • (x2 - 1) = 0
√(x + 3) = 0  ∨   x2 - 1 = 0
x = -3  ∨  x = 1  ∨  x = -1
Dat geeft de punten   (-3, 0) en (-1, -√2)  en (1, 2)
       
  c. Het vlakdeel zit tussen x = -3 en x = -1 (zie de figuur)
   
    = p(-3/4 - - 63/4) = 6p
     
   
    = p(0 + 3 - ln3 + 1) = p(4 - ln3)
    Het verschil is dan  π • (2 + ln3)
       
15. Wentel eerst het hele gebied onder de grafiek van f tussen x = 0 en x = 1/2 om de x-as:
 
  Trek nu de kegel die ontstaat door het driehoekje onder de grafiek van f om de x-as te wentelen er weer af.
Die kegel heeft inhoud  1/3 • π • 0,52 • 0,5 = 1/24π
Dan houd je over  3/8π - 1/24π = 1/3π
       
16. a.
    = p/100(5h + 7,5h - 5h3)
deel alles door 2,5 en je hebt de gevraagde formule.
       
  b. h = 1  geeft  V = 3p/40 en dan is de ton helemaal vol.
neem daar 3/4 deel van:  V = 9/160π
Y1 = π/40 • (2X + 3X2- 2X3 )
Y2 = 9/160π
intersect levert dan  h = 0,72  dus dat is 72 cm
       
17. a. f(x) = 0
87x - 3x2 - 2x3 = 0
x(87 - 3x - 2x2) = 0
x = 0 ∨  x = (3 ±√(9 + 4•87•2))/-4 = (3 ±√(705))/-4
x = 0  ∨  x = 5,89  ∨  x = -7,39
De nulpunten zijn  x = 0 en x = 5,89  dus de lengte is 5,89 cm.
       
  b.
    = π/36• { (87/2•5,92  - 5,93 - 1/2•5,94) - (0) }
= 61,34 cm3 dus dat is ongeveer 61 cm3
       
18. Eerst het deel onder de grafiek wentelen om de x-as:
I = π • ∫(256/x)dx = π • [256 • lnx]
Het vierkant heeft zijden 16, dus grenzen 17 en 1 invullen:

I = π(256ln17 - 256ln1) = 256πln17

DC wentelen om de x-as geeft  een cilinder met inhoud  π • 162 • 16 = 4096π

Het gevraagde omwentelingslichaam heeft inhoud  4096π - 256πln17
       
19. a. x - 31/2 = 5/(4x - 6)
(4x - 6)(x - 31/2) = 5
4x2 - 14x - 6x + 21 = 5
4x2 - 20x + 16 = 0
x2 - 5x + 4 = 0
(x - 1)(x - 4) = 0
x = 1  ∨  x = 4
B is het punt  (4, 1/2)  
     
  b. Splits het vlakdeel in twee delen:  van  O tot A en van A  tot de x-as
A = (1, -21/2)

linkerdeel:
   
    = p(25/8 - 25/4) = 25/12p
rechterdeel:
een kegel met straal grondvlak  21/2 en hoogte 21/2.
Inhoud  1/3 • π(21/2)2 •  21/2 = 125/24π

Samen geeft dat inhoud  175/24π
       
20.
  m = 1/2(a + b)  dus  A = π(√m)2 = πm =  1/2π(a + b) 
h = b - a  dus  hA = (b - a)  • 1/2π (a + b)
hA = 1/2π (ba + b2 - a2 - ab)
hA = 1/2π(b2 - a2)
en dat is inderdaad  gelijk aan bovenstaande integraal.