© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a. y = √(2x - 4)
y2 = 2x - 4
2x = y2 + 4
x = 1/2y2 + 2

   
       
  b. y = ln(2x)
ey = 2x
x = 1/2ey

   
       
  c. y = 1/2x3
2y = x3 
x = (2y)1/3 

   
       
  d. y = 1/(2x + 1) - 1
y + 1 = 1/(2x + 1)
2x + 1 = 1/(y + 1)
2x = 1/(y + 1) - 1
x = 1/(2y + 2) - 1/2

   
   
    = p • { (-1/8 - 1/2ln4 + 1/4) - (-1/4 - 1/2ln2) } = p • (3/8 - 1/2ln2)
       
2. a. √8 = 81/2 = (23)1/2 = 21,5

y = x1/3 
geeft dan  (21,5)1/3 = 20,5 = √2
y = 1/2x  geeft dan  1/2 • 21,5 = 2-1 • 21,5 = 20,5 = √2

     
  b. De punten van V liggen in het algemeen verder van de y-as af dan van de x-as, dus zal wentelen om de y-as waarschijnlijk een grotere inhoud geven.
       
  c. om de x-as:
Y1 = p • (X^(1/3))^2
calc - òf(x)dx  en X tussen  0  en √8  geeft  inhoud 10,663

Y1 = p • (0,5X)^2
calc - òf(x)dx  en X tussen  0  en √8  geeft  inhoud 5,924

De gezochte inhoud is dus 10,663 - 5,924 = 4,739
       
    om de y-as;
y = x1/3  geeft  x2 =  y6
Y1 = p • (X^6)
calc - òf(x)dx  en X tussen  0 en √2  geeft  inhoud 5,078

y = 1/2x  geeft  x2 = 4y2
Y1 = p • 4X^2
calc - òf(x)dx  en X tussen  0  en √2  geeft  inhoud 11,848

De gezochte inhoud is dan  11,848 - 5,078 = 6,770
       
  d.
    (√8)5/3 = (21,5)5/3 = 22,5 = 22 • 20,5 = 4√2
Dus dit is  12/5p√2
   
    (√8)3 = (21,5)3 = 24,5 = 24 • 20,5  = 16√2
Dus dit is  4/3p√2

De inhoud bij wentelen om de x-as is dan  12/5p√2 - 4/3p√2 = 16/15p√2
   
    (√2)7 = (√2)6 • √2 = 8√2, dus dit wordt  8/7p√2
   
    (√2)3 = 2√2  dus dit wordt  8/3p√2

De inhoud bij wentelen om de y-as is dan  8/3p√2 - 8/7p√2  = 32/21p√2

       
3. y = 1/(x + 2)
x + 2 = 1/y
x = 1/y - 2
x2 = (1/y - 2)2

x = 4 geeft  y = 1/(4 + 2) = 1/6 
zie de figuur hiernaast.  1/x - 2 = 0
geeft  x = 1/2

deel I omwentelen geeft een cilinder met inhoud p • 42 • 1/6 = 8/3p

deel II omwentelen:

 
  = p • {  (-2 - 4ln1/2 + 2) - (-6 - 4ln1/6 + 2/3) } = p (51/3 - 4ln3)
       
4. a.
    = (2√3) - (9 - 27) = 2√3 + 18
   

  b. y = √(x + 3)
Þ y2 = x + 3
Þ  x = y2 - 3
Þ  x2 = (y2 - 3)2

y = x2  - 9 
Þ  x2 = 9 + y    
   
   
    =  p • { (1/5 • 9√3 - 6√3 + 9√3) - (0) } = 44/5p√3

samen is dat dus  p • (401/2 + 44/5√3)
       
5. W om de x-as;
 
  V om de y-as:
y = x2 geeft direct:
 
  1/5pp5 = 1/2pp4
1/5p5 - 1/2p4 = 0
p4(1/5p - 15) = 0
p = 0 Ú  p = 2,5
       
6. y = 10/x  Þ   x2 = 100/y2

x = 1 geeft y = 10
x = 3 geeft  y = 10/3
 
  = p(-10 - - 30) = 20p
       
7. a.

    daar moet nog een rechthoek van 1 bij 0,5 van af
dus is de oppervlakte  ln2 - 1/2
  b. y = 1/(x + 1) Þ  x + 1 = 1/y Þ   x = 1/y - 1 Þ  x2 = (1/y - 1)2
   
    = p • (0 + 1,5 + 2ln0,5) = p • (11/2 - 2ln2) 
       
8. Verschuif het vlakdeel eerst 1 naar rechts, dan kun je wentelen om de y-as.
Dan worden de vergelijkingen  y = x - 2 en  y = 2√(x - 2)

y = x - 2
Þ  x = y + 2 
Þ x2 = y2 + 4y + 4

y = 2√(x - 2)
Þ  x - 2 = (0,5y)2 
Þ  x = 1/4y2 + 2 
Þ x2 = 1/16y4 + y2 + 4

 
 
  = p •  {752/15 - 0} = 502/15p
trek die twee inhouden van elkaar af:  dat geeft  191/5p
       
9. W wentelen geeft een halve bol, dus als je de parabool wentelt om de y-as moet dat het dubbele opleveren, dus een hele bol.
 
  Dus  1/2πr2 = 4/3πr3
1/2 = 4/3r
r = π • 1/2 = 3/8
       
10a. Als (x, y) op de grafiek van f  ligt, dan ligt (y, x) op de grafiek van finv.
Dus geldt x = -2 + 3√(y - 1)
x + 2 = 3√(y - 1)
(x + 2)3 = y - 1
(x + 2)(x + 2)2 + y - 1
(x + 2)(x2 + 4x + 4) = y - 1
x3 + 4x2 + 4x + 2x2 + 8x + 8 = y - 1
y = x3 + 6x2 + 12x + 9
Dat klopt!
       
10b. x = 0  geeft  y = 9
 
  invoeren in de GR en dan calc - integraal geeft inhoud ongeveer 33,9