© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
1. a. y = 2√x + 4x2 = 2 • x0,5 + 4x2
y ' = 0,5 • 2x-0,5 + 2 • 4x1 = 1/√x + 8x
       
  b. f(x) = - 4 - 5/x3 = -4 - 5x-3
f ' =  -3 • -5x-4 = 15x-4  =  15/x4
       
  c. f(x) = x - 6√x = x - 6x0,5
f ' = 1 - 0,5 • 6x -0,5 = 1 - 3/√x
       
  d. f(x) = 3x5 - x - 4x√x = 3x5 - x - 4x1,5
f ' = 5 • 3x4 - 1 - 4 • 1,5x0,5  = 15x4 - 1 - 6√x
       
  e. y = x2√x + 4 = x2,5 + 4
y ' = 2,5x1,5  = 2,5x√x
       
  f. y = 6x -  3/√x = 6x - 3x-0,5
y ' =  6 - -0,5 • 3x-1,5  =  6 + 1,5x-1,5 = 6 + 1,5/x√x
       
  g. f(x) = 4x/√x= 4x0,5
f '  = 0,5 • 4x-0,5 = 2/√x
       
  h. y = 3√x/x2 = 3x -1,5
y ' = -1,5 • 3 • x-2,5  =  -1,5/x2√x
       
2. a. f(x) = x • (√x - 2x) = x√x - 2x2 = x1,5 - 2x2
f ' = 1,5x0,5 - 4x1  = 1,5√x - 4x
       
  b. y = 4x3 √x - 2x4 = 4x3,5 - 2x4
y ' = 3,5 • 4 x2,5 - 4 • 2x3 = 14x2√x - 8x3
       
  c. y = 4/6x5 = 4/6x-5
y '= 4/6 • -5 • x-6 = -10/3 • x-6 = -10/3x6
       
  d. y = (x + √x) • (x2 - √x) = x3 - x√x + x2√x - x  =  x3 - x1,5 + x2,5 - x
y ' = 3x2 - 1,5x0,5 + 2,5x1,5 - 1 = 3x2 - 1,5√x + 2,5x√x - 1
       
  e. f(x) = (x + 4)/x2 = x/x2 + 4/x2 = x-1 + 4x-2
f ' = -1 • x-2 - 2 • 4x-3 = -1/x2 - 8/x3
       
  f. f(x) = x4 • 5/x6 = x4 • 5x-6 = 5x-2
f ' = -2 • 5x-3 = -10/x3
       
  g. f(x) = x³/x2 - 2x/x2 + 4/x2 = x - 2x-1 + 4x-2
f '  = 1 - -1•2x-2 - 2 • 4x-3 = 1 + 2/x2 - 8/x3 
       
  h. y = (6 + x)/√x = 6/√x + x/√x = 6x-0,5 + x0,5
y '  = -0,5 • 6x-1,5 + 0,5x-0,5 = -3/x√x + 0,5/√x
       
3. a. P = 100 - 800t -1 + 6400t -2
P ' = 1 • 800t-2  - 2 • 6400t-3 = 800/t2 - 12800/t3
P '(8) = 800/64 - 12800/512 = -12,5 %/dag
       
  b. P '(16) = 800/256 - 12800/4096 = 0
Bij t = 16 heeft de grafiek helling 0 dat zal dus het minimum zijn.
       
  c. Als t heel erg groot wordt, wordt  P 'gelijk aan nul dus zal de helling nul worden.
De grafiek gaat dus horizontaal lopen.
       
  d. Als t heel erg groot wordt, worden de laatste twee stukken uit de formule voor P gelijk aan nul, dus P zal gelijk worden aan 100.  
       
4. a. Als R' negatief is, dan daalt R, dus wordt de reactietijd kleiner
       
  b. R(t) = 0,1t√t - 0,22t + 0,3 = 0,1t1,5 - 0,22t + 0,3
R ' = 1,5 • 0,1t0,5 - 0,22 = 0,15√t - 0,22
R' = 0  geeft    0,15√t - 0,22 = 0
0,15√t = 0,22
√t = 1,14667
t = 2,15
Dus 2,15 uur blijft een tablet de reactietijd verkorten.
       
  c. Zonder XTC:  R(0) = 0,3
0,3 = 0,1t√t - 0,22t + 0,3
0 = 0,1t√t - 0,22t
0 = t(0,1√t - 0,22)
t = 0 ∨  0,1√t - 0,22 = 0
t = 0  ∨  √t = 2,2
t = 0  ∨   t = 4,84
Dus tussen 0 en 4,84 uur is de reactietijd met XTC  kleiner dan zonder XTC
       
5. a. T = 150 en L = 70 geeft  Ptheoretisch = 150/(12 • 700,667) = 0,735
P = 0,206 en L =100 geeft   0,735 = T/(12 • 1000,667)  
⇒  T = 0,735 • 12 • 1000,667 = 190 kg
     
  b. L = 50 en L = 150 moet dezelfde P opleveren,
Dus  T1/(12 • 500,667) = T2/(12 • 1500,667) 
⇒  T1/163,07 = T2/339,34
⇒  T2 = T1 • 339,34/163,07  = T1 • 2,08
Dat is inderdaad ruim tweemaal zoveel.
     
  c. P = 120/(12 • L0,667) = 120/12 • L-0,667 = 10 • L-0,667
P' =  -0,667 • 10 • L-1,667 = -6,67 • L-1,667
P'(65) = -0,006  en   P'(105) = -0,003
P'(65) < P'(105) dus de grafiek van de lichtste sporter loopt het steilst naar beneden.
Dus zal de prestatie van de lichtste sporter het meest stijgen.
       
6. a. translatie  6 naar links 
vermenigvuldiging tov y-as met factor 0,5
translatie 3 omlaag
       
  b. -3 + √(2x + 6) = 0
√(2x + 6) = 3
2x + 6 = 9
x  = 3/2
f '(x) =  0,5(2x + 6)-0,5 · 2
 dus   f '(1,5) =  1/3
y =  1/3x + b  geeft dan   b = 1/2
x = -3  geeft dan   y =  1/3  · -3 -  1/2   = -11/2
en dat is het midden van BC.