© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     
1. a. verticale asymptoot als 2x + 5 = 0  dus als  x = -2,5
horizontale asymptoot:  vul voor x een heel groot getal in. Dat levert  y ≈ 0,5
       
  b. verticale asymptoot als x2 + 3x = 0
x(x + 3) = 0
x = 0 ∨  x = -3
er zijn dus twee verticale asymptoten.

horizontale asymptoot:  vul voor x een heel groot getal in. Dat levert y = 0
       
  c. de wortel bestaat alleen als  x - 3 ≥ 0  dus als x ≥ 3
verticale asymptoot als  √(x - 3) = 0  dus bij x = 3.  Maar alleen vanaf de rechterkant loopt de grafiek daar naar toe.

horizontale asymptoot:  vul voor x een heel groot getal in, dat levert y = 0
       
  d. verticale asymptoot als x2 - 3x - 10 = 0
(x - 5)(x + 2) = 0
x = 5  ∨  x = -2
er zijn dus twee verticale asymptoten.

horizontale asymptoot:  vul voor x een heel groot getal in, dat geeft  y = 0
       
  e. De wortel bestaat alleen als 3/(2x - 4) ≥ 0   Dat is zo als  2x - 4 > 0 dus als  x > 2
verticale asymptoot als 2x - 4 = 0  dus als x = 2. Maar alleen vanaf de rechterkant loopt de grafiek daar naar toe.

horizontale asymptoot:  vul voor x een heel groot getal in. Dat geeft y = 0
       
  f. verticale asymptoot als x - 1 = 0  of  3x + 12 = 0  dus als  x = 1  ∨  x = -4
er zijn dus twee verticale asymptoten.

horizontale asymptoot:  vul voor x een heel groot getal in. Dat geeft  y ≈ 2 + 0 = 2
       
2. a. Als de functie niet bestaat voor x < 3 zou ik iets proberen als  y = √(x - 3)
Als er een verticale asymptoot is bij  = 3 moet er dan ook nog door nul gedeeld worden voor x = 3.
Dat kan bijvoorbeeld met  y = 1/√(x - 3)
       
  b. Met een verticale asymptoot bij x = 2 probeer je meteen iets als  y = 1/(x - 2)
Omdat het altijd positief moet zijn kun je het kwadraat ervan nemen:  y = 1/(x - 2)2
       
  c. Verticale asymptoot x = -2  geeft iets als  y = 1/(x + 2)
Dat gaat naar nul voor x oneindig groot.
Horizontale asymptoot y = 3 krijg je door y = 1/(x + 2) + 3
       
3. a. T(0) = 120/3 = 40  ˚C
Dus als het 2 graden daalt moet gelden T = 38 ˚C
38 = (37t + 120)/(t + 3)
38(t + 3) = 37t + 120
38t + 114 = 37t + 120
t = 6.
Het duurt dus 6 uur.
       
  b. Vul voor t een heel groot getal in, bijv. 1000000
Dat geeft  T = 37,00009 dus de temperatuur zal uiteindelijk 37 ˚C worden.
       
4. a. Kies een punt, bijv.  (0, 12)
invullen:  12 = (2a • 0 - 8a)/(0 - 2)
12 = -8a/-2 = 4a
a = 3
       
  b. (4, 0)
Als je voor x  4 invult staat er  y = (8a - 8a)/(x - 2)
Dat is altijd nul, onafhankelijk van a
       
  c. Voor x oneindig groot staat er ongeveer 2ax/x = 2a
Als dat 12 moet zijn is  a  = 6
       
5. a.. De grafiek heeft een verticale asymptoot voor x = 4 want dan is de noemer nul.

De grafiek bestaat voor  x< 4 want dan is het deel onder de wortel positief.

De grafiek is overal positief want het is een wortel.

Dat geeft de rode grafiek hiernaast.

     
  b. Zie de figuur hiernaast.
    √(12/(4 - x)) = √(3x)
12/(4 - x) = 3x
12 =  3x (4 - x)
3x2 - 12x + 12 = 0
x2 - 4x + 4 = 0
(x - 2)2 = 0
x = 2
Er is inderdaad maar één gemeenschappelijk punt (2, √6) dus de grafieken raken elkaar.