© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     
1. Stel BF = x, dan is ook DF = x  (vierkant)

ABF is een 30-60-90 driehoek
BF = x  geeft dan   AF = x√3

AD = AF + FD = x√3 + x = 12
x(1 + √3) = 12
x =  12/(1 + √3)

AB = 2x = 24/(1 + √3)   ( = 12√3 - 12)
       
2. ∠ BCD is 180 - 75 - 45 = 60º  dus driehoek BCA is een 30-60-90 driehoek, en heeft dus zijdenverhouding 1- 2 - √3
BC = 8, dus is AB = 8√3

AEB is gelijkbenig rechthoekig dus hoek EBA is 45° en  hoek CBA is dan  90°
AEB is een 45-45-90 driehoek, en geeft dus zijdenverhouding 1-1-√2
AB = 8√3, dus AE = BE = 8√3/√2

De oppervlakte van ABE is dan
 1/2 • (8√3/√2)2 = 48

       
3. De hoeken van DEC zijn 60º
Dus ∠ADE = 30º
DEA is een gelijkbenige driehoek met tophoek 30º dus zijn de basishoeken 75º
Dan is ∠CEF = 180 - 75 - 60 = 45º
Dus CEF is een 45-45-90 driehoek.

CF = 6, dus  EC = 6√2
Het vierkant heeft oppervlakte (6√2)2 = 72

       
4. De gele driehoek is 1-1-√2 met schuine zijde 2
De zijden zijn dan  1/√2 = 1/2√2

Het vierkant is dan 2 + √2

       
5. De diagonaal van het vierkant heeft lengte √2
(1-1-√2)
Het kleine rode driehoekje heeft dus een zijde van √2 - 1
Maar dat is ook een 1-1-√2 driehoekje (de hoeken zijn 45º) dus de oppervlakte ervan is 
1/2 • (√2 - 1)(√2 - 1)
= 1/2(2 - 2√2 + 1) = 11/2 - √2

Het gele deel heeft dan oppervlakte
 1/2 - 11/2 + √2 = √2 - 1

       
6. Noem de straal x
Dan zie je hiernaast een 30-60-90 driehoek, dus de afstand van P naar het middelpunt is 2x
PQ = 3x = 12
x = 4

       
7. ADB  is 45-45-90 dus als AD = 1 dan is
AB = √2
Dan is AP = 0,5√2

ACP is 30-60-90 dus als AP = 0,5√2 dan is
AC = √2

De stralen van de cirkels verhouden zich als 1 : √2
De oppervlaktes verhouden zich dan als 1 : 2

       
8. De drie rode hoeken zijn gelijk, dus allemaal 60º
Dus de driehoeken in d eruit zijn 30-60-90 driehoeken.

Dat betekent dat y = 2 en x = 1

De oppervlakte van de ruit is dan
4 • 0,5 • x • √3  = 2√3

       
9. Stel de straal van de cirkels x
AC = x + 4
AB = 2x
omdat ABC  45-45-90 driehoek is, is  2x = (x + 4)√2
2x = x√2 + 4√2
x(2 - √2) = 4√2
x = 4√2/(2 - √2)
       
10. Teken de hoogtelijn CD vanuit punt C
Stel AM = MC = x
omdat CDA  een 30-60-90 driehoek is, is  AD = x en CD = x√3
omdat BCD en 45-45-90 driehoek is, is dan  BD = x√3
x√3 + x = 10
x(√3 + 1) = 10
x = 10/(1 + √3)
AN = 2x  = 20/(1 + √3)    want  AMN is een 30-60-90 driehoek.
       
11. Het zijn een 1-1-Ö2 en een 1-2-Ö3 driehoek.
AC = x
CD = 0,5x 
AD = 0,5xÖ3  en  DB = 0,5xÖ3 
CB = 0,5x + 0,5xÖ3 
oppervlakte  0,5 · (0,5x + 0,5xÖ3) · 0,5xÖ3 = 100 
x2 · (0,125Ö3  + 0,1875) = 100 
x = 100/(0,125Ö3  + 0,1875) =  1600/(2Ö3 + 1)
       
12. Zie de hoeken en zijden hiernaast.
De grote driehoek heeft zijden 3, de kleine heeft zijden Ö3.
De verhouding van de zijden is 1 : Ö3
De verhouding van de oppervlakten is dan  1 : 3