|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||
 |
|||
| 1. | a. | f(x) = 2x2 + 8x
+ 7 f ' = 4x + 8 = 0 4x = -8 x = -2 en dan is y = 2 • (-2)2 + 8 • -2 + 7 = -1 (-2, -1) is een minimum |
|
| b. | y = x3
- 9x2
+ 24x - 24 y ' = 3x2 - 18x + 24 = 0 x2 - 6x + 8 = 0 (x - 4)(x - 2) = 0 x = 4 ∨ x = 2 Dat geeft y = -8 en y = -4 (2, -4) is een maximum en (4, -8) is een minimum |
||
| c. | y = √x
-
2x y ' = 0,5 • x-0,5 - 2 = 0 0,5x-0,5 = 2 x-0,5 = 4 x = 41/-0,5 = 1/16 en dan is y = 1/8 (1/16, 1/8) is een maximum |
||
| d. | f(x) = 1/x
+ 4x2 f '(x) = -x-2 + 8x = 0 -1/x2 + 8x = 0 -1 + 8x3 = 0 8x3 = 1 x3 = 1/8 x = 1/2 en dan is y = 3 (1/2, 3) is een minimum |
||
| e. | f(x) = 8/x²
+ 2x - 3 f ' = -2 • 8x-3 + 2 = 0 -16/x3 + 2 = 0 -16 + 2x3 = 0 2x3 = 16 x3 = 8 x = 2 en dan is y = 3 (2, 3) is een minimum |
||
| f. | y = x√x
- 0,75x2 y ' = 1,5x0,5 - 1,5x = 0 1,5x0,5(1 - x0,5) = 0 x0,5 = 0 ∨ 1 - x0,5 = 0 x = 0 ∨ x = 1 Dan is y = 0 ∨ y = 0,25 (0, 0) is een randpunt en (1, 0.25) is een maximum |
||
| 2. | a. | Als hij er d
dubbeltjes afhaalt wordt de prijs 1,50 - 0,1d Hij verkoopt dan 250 + 20d ijsjes Dat levert op (250 + 20d)(1,50 - 0,1d) = 375 - 25d + 30d - 2d2 = -2d2 + 5d + 375 |
|
| b. | O' = -4d + 5 =
0 4d = 5 d = 1,25 dat is 12,5 cent afname, dus de prijs wordt 1,38 of 1,37 |
||
| 3. | a. | f ' = 2
- 8
· 0,5 ·
x-0,5 f '(1) = 2 - 4 = -2 dus de raaklijn is de lijn y = -2x + b f(1) = 2 - 8 = -6 dus de raaklijn moet door (1,-6) gaan -6 = -2 · 1 + b ⇒ b = -4 de raaklijn is y = -2x - 4 |
|
| b. | fa
' = 2a - 8 · 0,5 · x-0,5
= 2a - 4/√x Dat is nul als x = 16: 2a - 4/4 = 0 ⇒ a = 1/2 y = 2 · 1/2 · 16 - 8√16 = 16 - 32 = -16 |
||
| 4. | a. |
f0,57(x) = x3 + 3x2
+ 0,57x + 0,57 f ' = 3x2 + 6x + 0,57 = 0 ABC-formule: x = (-6 ±√(36 - 6,84))/6 = (-6 ± 5,4)/6 = -0,1 of -1,9 Dat geeft y = 0,542 en y = 3,458 De extremen zijn (-0.1, 0,542) en (-1.9, 3,458) |
|
| b. | f ' = 3x2
+ 6x + 2 f '(1) = 3 + 6 + 2 = 11 du de raaklijn is y = 11x + b f(1) = 1 + 3 + 2 + 2 = 8, dus het raakpunt is (1, 8) 8 = 11 · 1 + b geeft b = -3 De raaklijn is dan y = 11x - 3 |
||
| c. | neem x = -1 dan is y = (-1)3 + 3(-1)2 + p · -1 + p = -1 + 3 - p + p = 2 Dat voor elke p zo, dus omdat x = -1 altijd y = 2 oplevert gaat elke grafiek door (-1, 2) |
||
| d. | f ' = 3x2
+ 6x + p = 0 Dat heeft geen oplossing als de discriminant kleiner dan nul is. b2 - 4ac = 36 - 12p < 0 dan is 12p > 36 dus p > 3 Vanaf p = 3 heeft de grafiek geen extremen meer. (Bij p = 3 zelf is de helling nog wel horizontaal, maar is het ook al geen maximum of minimum meer) |
||
| 5. | a. | L(t) = 90t
- 20t1,5
L = 0 geeft dan 90t - 20t1,5 = 0 t(90 - 20t0,5) = 0 t = 0 ∨ 90 - 20t0,5 = 0 t = 0 ∨ t0,5 = 4,5 t = 0 ∨ t = 4,52 = 20,25 Als t = 0 op 18 november is, dan is t = 20 op 8 december en dat is na 5 december |
|
| b. | L ' = 0 L ' = 90 - 1,5 · 20t0,5 = 0 90 = 30t0,5 t0,5 = 3 t = 9 dan is L(9) = 90 · 9 - 20 · 91,5 = 270 |
||
| c. | Als hij 24 letters
minder verkoopt dan is L '= -24 90 - 1,5 · 20t0,5 = -24 30t0,5 = 114 t0,5 = 3,8 t = 3,82 = 14,44 Dus dag 14 of 15 neemt het aantal ongeveer 24 per dag af. |
||
| 6. | y = ax2
+ bx + c y ' = 2ax + b = 0 2ax = -b x = -b/2a |
||
| 7. | a. | T
=
1680/t - 8400/t²
=
1680t-1 - 8400t-2 T ' = -1680t -2 + 2 · 8400t -3 T '(5) = -1680 · 5-2 + 2 · 8400 · 5-3 = 67,2 Dat is positief dus T stijgt. |
|
| b. | T ' = 0 -1680t -2 + 2 · 8400t -3 = 0 -1680t + 2 · 8400 = 0 1680t = 16800 t = 10 T(10) = 1680/10 - 8400/100 = 84% toename |
||
| 8. |
h'
= 1/a + -1 • a • x-2
= 1/a - a/x²
bij het minimum geldt h ' = 0 1/a = a/x² x2 = a2 geeft x = a (x = -a valt af vanwege het domein) invullen: h = a/a + a/a = 1 + 1 = 2 |
||