|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||
 |
|||
| 1. | Noem de hoogte h
en de breedte B. Dan is de oppervlakte O = h · B De totale lengte is 20, dus 2h + B = 20 Daaruit volgt B = 20 - 2h en dat vul je in in de oppervlakteformule: O = h (20 - 2h) = 20h - 2h2 O ' = 0 20 - 4h = 0 h = 5 Dan is B = 10 en O = 50 mm2 |
||
| 2. | Noem de breedte van
de omheining B, dan geldt als je de omheining volgt: x + B
+ x + 12 + B = 80 2x + 2B = 68 x + B = 34 B = 34 - x O = (x + 12) • B = (x + 12)(34 - x) = 34x - x2 + 408 - 12x = 22x - x2 + 408 O ' = 0 22 - 2x = 0 x = 11 O = 22x - x2 + 408 = 529 m2 |
||
| 3. | a. | Noem de lengte L (en
de breedte x) Dan geldt 2L + 4x = 500 2L = 500 - 4x L = 250 - 2x O = L • x = (250 - 2x) • x = 250x - 2x2 |
|
| b. | O ' = 0 250 - 4x = 0 x = 62,5 O = 250x - 2x2 = 7812,5 m2 |
||
| 4. | a. | Noem de hoogte van
het doosje h dan geldt voor de kosten: vier zijkanten: 4 • x • h • 0,005 = 0,02xh: deksel: 0,008x2 bodem: 0,005x2 samen is dat K = 0,013x2 + 0,02xh inhoud: x2h = 8000 ⇒ h = 8000/x2 invullen in de kostenformule: K = 0,013x2 + 0,02x • 8000/x2 = 0,013x2 + 160/x |
|
| b. | K = 0,013x2
+ 160/x = 0,013x2 + 160x-1
K ' = 0,026x - 160x-2 = 0 vermenigvuldig met x2: 0,026x3 - 160 = 0 0,026x3 = 160 x3 = 6153,85 x = 18,325 K = 0,013x2 + 160/x = €13,10 |
||
| 5. | Noem de lente van het
rechthoekige terrein L en de breedte B. Dan is de oppervlakte O = L · B Maar B = 2r dus O = L · 2r De omtrek is 400, en dat is twee rechte stukken plus een hele cirkel: 2L + 2πr = 400 2L = 400 - 2πr L = 200 - πr en dat kun je invullen in O O = (200 - πr) · 2r = 400r - 2πr2 O ' = 400 - 4πr = 0 400 = 4r r = 100/π Dan is B = 200/π en L = 200 - πr = 200 - π · 100/π = 100 |
||
| 6. | a. | Noem de zijden van de
vierkantjes die er worden uitgeknipt allemaal h Dan wordt de hoogte van het doosje h De breedte is dan 40 - 2h en de lengte is 60 - 2h De inhoud is I = l · b · h = (60 - 2h)(40 - 2h )h I = (2400 - 120h - 80h + 4h2) h I = (2400 - 200h + 4h2 )h I = 2400h - 200h2 + 4h3 I ' = 2400 - 400h + 12h2 2400 - 400h + 12h2 = 0 ABC-formule: h = (400 ±√(160000 - 115200))/24 = 25,48 of 7,85 Het eerste antwoord is onzin, dus blijft over h = 7,85 Dan is I = 8450,45 cm3 |
|
| b. | Noem de zijden van de
vierkantjes die er worden uitgeknipt allemaal h Dan wordt de hoogte van het doosje h De breedte is dan 40 - 2h en de lengte is (60 - 3h)/2 = 30 - 1,5h De inhoud is I = l · b · h = (30 - 1,5h)(40 - 2h )h I = (1200 - 60h - 60h + 3h2) h I = (1200 - 120h + 3h2 )h I = 1200h - 120h2 + 3h3 I ' = 1200 - 240h + 9h2 1200 - 240h + 9h2 = 0 ABC-formule: h = (240 ±√(57600 - 43200))/18 = 62/3 of 20 Het tweede antwoord is onzin, dus blijft over h = 62/3 Dan is I = 35555/9 cm3 |
||
| 7. | De hoogte van
het blauwe plakje is 12 - x De inhoud van het plakje is I = x · x · (12 - x) = x2 (12 - x) = 12x2 - x3 I ' = 24x - 3x2 = 0 x(24 - 3x) = 0 x = 0 ∨ x = 8 Het maximum is bij x = 8 |
||
| 8. | a. | maïs is x2
koolzaad is (400 - x)2 = 160000 - 800x + x2 dan blijft over: 400 · 300 - x2 - 160000 + 800x - x2 = 800x - 40000 |
|
| b. | O ´ = 800
- 4x
= 0 x = 200 Dus de maïs 200 bij 200 en het koolzaad ook. |
||
| 9. | a. | De oppervlakte
bestaat uit twee cirkels en een rechthoek. Noem de hoogte h, dan heeft de rechthoek afmetingen h en 2πr De oppervlakte is dan O = 2πr2 + 2πrh De inhoud is πr2 h = 1 (we rekenen in dm, en 1 liter is 1 dm3) h = 1/πr2 en dat kun je invullen in de O -formule: O = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πr · 1/πr2 = 2πr2 + 2/r |
|
| b. | O = 2πr2 +
2/r = 2πr2 +
2r-1 O ' = 4πr - 2r -2 = 0 vermenigvuldig met r2 : 4πr3 - 2 = 0 r3 = 2/4π = 1/2π r = (1/2π)1/3 = 0,5419 dm Dan is h = 1/πr2 = 1,0838 dm (overigen is O = 5,536 dm3) |
||
| 10. | a. | De oppervlakte van de
hele poster is O = (x + 10)(y +
20) = xy + 20x + 10y + 200 Het tekstdeel is 1,4 m2 en dat is 11400 cm2 Dus moet gelden xy = 11400 y = 11400/x en dat kun je invullen in de formule voor O: O = x · 11400/x + 20x + 10 · 11400/x + 200 O = 11400 + 20x + 114000/x + 200 O = 11600 + 20x + 114000/x |
|
| b. | O = 11600 + 20x
+ 114000 · x-1
O ' = 20 - 114000x-2 = 0 20 = 114000x-2 x-2 = 0,0001754 x = 75,5 Dan is y = 11400/x = 151,0 |
||
| 11. | a. | Als AP = x dan
is PD = 40 - x Pythagoras: AD2 + x2 = (40 - x)2 AD2 = 1600 - 80x + x2 - x2 AD = √(1600 - 80x) oppervlakte is O = 1/2 • AP • AD = 1/2 • x • √(1600 - 80x) |
|
| b. | O ' = 0 1/2 • √(1600 - 80x) + 1/2x • 1/2√(1600 - 80x) • -80 = 0 vermenigvuldig met √(1600 - 80x): 1/2 • (1600 - 80x) + 1/4x • -80 = 0 800 - 40x - 20x = 0 60x = 800 x = 131/3 O = 1/2 • 131/3 • √(5331/3) ≈ 153,96 |
||
| 12. | a. | Als de basis b
is, en de omtrek 200, dan zijn de andere zijden gelijk, aan
1/2(200
- b) = 100 - 1/2b Teken de hoogtelijn h, dan geldt Pythagoras; (1/2b)2 + h2 = (100 - 1/2b)2 1/4b2 + h2 = 10000 - 100b + 1/4b2 h2 = 10000 - 100b h = √(10000 - 100b) oppervlakte is O = 1/2 • b• h = 1/2 • b • √(10000 - 100b) O = 1/2 • b • √(100 • (100 - b)) O = 1/2b √100 • √(100 - b) O = 5b • √(100 - b) |
|
| b. | O ' = 0 5 • √(100 - b) + 5b • 1/2√(100 - b) • -1 = 0 vermenigvuldig met √(100 - b): 5(100 - b) - 21/2b = 0 500 - 5b - 21/2b = 0 71/2b = 500 b = 662/3 O = 5 • 662/3 • √(331/3) ≈ 1924,50 |
||
| 13. | a. | Zie de figuur hiernaast. DB = 5 (Pythagoras in DBC) Pythagoras in ABD: AD2 + x2 = 25 AD = √(25 - x2) Oppervlakte O = 1/2 • AB • AD + 1/2 • 3 • 4 O = 1/2x • √(25 - x2) + 6 |
 |
| b. | O ' = 0 1/2 • √(25 - x2) + 1/2x • 1/2√(25 - x2) • -2x = 0 vermenigvuldig met √(25 - x2): 1/2(25 - x2) - 1/2x2 = 0 25 - 2x2 = 0 x2 = 121/2 x = √121/2 O = 1/2 • √121/2 • √121/2 + 6 = 121/4 |
||
| 14. | Noem de horizontale
afstand van de linkerkant van de figuur tot de linkerstok gelijk aan
x x2 + h2 = 22 x2 = 4 - h2 x = √(4 - h2) De oppervlakte is twee driehoeken en een rechthoek: O = 2 • 1/2 • x • h + 2h O = h • √(4 - h2) + 2h O ' = 0 1 • √(4 - h2 ) + h • 1/2√(4 - h2) • -2h + 2 = 0 vermenigvuldig alles met √(4 - h2): 4 - h2 - h2 + 2 = 0 h2 = 3 h = √3 |
||
| 15. | Stel dat de bovenkant
van de T lengte 2x heeft, en dat de rode schuine zijden lengte
y hebben Dan is 2x + 2y = 20, dus y = 10 - x Oppervlakte O = 1/2 · 2x · h = xh Pythagoras: x2 + h2 = y2 x2 + h2 = (10 - x)2 x2 + h2 = 100 - 20x + x2 h = √(100 - 20x) O = x√(100 - 20x) O ' = 1 · √(100 - 20x) + x · 1/2√(100 - 20x) · -20 = 0 vermenigvuldig alles met √(100 - 20x): (100 - 20x) - 10x = 0 30x = 100 x = 31/3 O = x√(100 - 20x) = 19,25 |
||