© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a. x2 + y2 - 6y + 1 = 0
x2 + y2 - 6y + 9 - 9 + 1 = 0
x2 + (y - 3)2 = 8
Het middelpunt is  (0, 3)
Een lijn loodrecht op rc -1 heeft rc 1
Lijn door M met rc 1:   y = x + 3  snijden met de cirkel:
x2 + (x + 3)2 - 6(x + 3) + 1 = 0
x2 + x2 + 6x + 9 - 6x - 18 + 1 = 0
2x2 - 8 = 0
x2 = 4
x = 2 ∨  x = -2
Dat geeft de raakpunten (2, 5) en (-2, 1)
Dat geeft de raaklijnen y = -x + 7  en  y = -x - 1
       
2, a. x2 - 2x  + y2 - 4y  = 36
x2 - 2x + 1 - 1 + y2 - 4y + 4 - 4 = 36
(x - 1)2 + (y - 2)2 = 41
middelpunt is M = (1, 2)
MR gaat door  (1,2) en (5, 7)
a = (7 - 2)/(5 - 1) = 5/4
De raaklijn staat daar loodrecht op, dus heeft helling -4/5 en gaat door (5,7)
7 = -4/5 • 5 + b geeft  b = 11 en de raaklijn is dan  y = -4/5x + 11
       
  b. x2 + y2 - 8y + 8 = 0
x2 + y2 - 8y + 16 - 16 + 8 = 0
x2 + (y - 4)2 = 8
middelpunt is  M(0, 4)
MR gaat door  (0, 4) en (-2, 2)
a = (4 - 2)/(0 - -2) = 1
De raaklijn staat daar loodrecht op en heeft helling -1 en gaat door (-2, 2)
2 = -1 • -2 + b geeft b = 0 en de raaklijn is dan  y = -x
       
3. MA staat loodrecht op l dus AM heeft helling  -4/3
A = (4, 3)  dus voor AM geldt   3 = -4/3 • 4 + b   en dat geeft b =  81/3
MA is de lijn  y = -4/3x + 81/3.
M ligt bij x = 5, dus  y = -4/3 • 5 + 81/3 = 5/3
M = (5, 5/3)  en  A = (4, 3)  dus  AM = √((5 - 4)2 + (5/3 - 3)2) = 5/3
De straal van de cirkel is gelijk aan de y-coördinaat van M dus c raakt de x-as
       
4. Lijn l heeft vergelijking  y = 0,5x
c is de cirkel met middelpunt  (-2, 6)  en straal √5.
Als l de cirkel raakt in punt R dan heeft de lijn MR helling -2
y = -2x + b door  (-2, 6)  geeft  b = 2  dus MR is de lijn  y = -2x + 2
De cirkel heeft vergelijking   (x + 2)2 + (y - 6)2 = 5
Snijden met MR:  (x + 2)2 + (-2x - 4)2 = 5
x2 + 4x + 4 + 4x2 + 16x + 16 = 5
5x2 + 20x + 15 = 0
x2 + 4x + 3 = 0
(x + 3)(x  + 1) = 0
x= -3  ∨  x = -1|
x = -3  geeft y = 8
x = -1  geeft  y = 4   
De lijn raakt de cirkel voor het eerst  in  (-1, 4)

De lijn gaat oorspronkelijk door  (-1, -0,5)
De lijn moet dus 4,5 omhoog geschoven worden.
       
5.

k is de lijn  y = 2 + 4x
Cirkel c heeft middelpunt  (4,5) en raakt lijn k
Bereken de afstand van M tot lijn k
Lijn door M loodrecht op k heeft helling  -0,25
y = -0,25x + b door  (4, 5)  geeft  b = 6
De loodrechte lijn heeft vergelijking   y = -0,25x + 6
Snijden met k:   -0,25x + 6 = 2 + 4x
Dat geeft snijpunt  S(16/17, 98/17)
MS2 = (16/17)2 + (98/17)2 = 9860/289 = 580/17
De vergelijking is dan   (x - 4)2 + (y - 6)2 = 580/17
 
       
6. MA = MB = 3 dus de straal van de cirkel is 3.
MA en MB staan loodrecht op de y-as (want het is een halve cirkel) dus M = (0, 3)
De cirkel heeft dan als vergelijking  x2 + (y - 3)2 = 9

MK is evenwijdig aan OP  dus heeft helling 1
MK is de lijn  y = x + 3
Snijden met de cirkel:

x2 + (x + 3 - 3)2 = 9
2x2 = 9
x2 = 4,5
xK = √4,5
Dan is  yK = 3 + √4,5
       
7. a. y = 2x + 2 invullen in de cirkelvergelijking:
x2 + (2x + 2)2 = 6x + 6(2x + 2) - 13
x2 + 4x2 + 8x + 4 = 6x + 12x + 12 - 13
5x2 - 10x + 5 = 0
x2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)2 = 0
x = 1
y =  2 • 1 + 2 = 4
Het raakpunt is  (1, 4) 
       
  b. Dan moet het middelpunt M even ver van S (en T) als van O afliggen
x = 0  geeft  y = 2 • 0 + 2 = 2  dus  T = (0, 2)
y = 0  geeft  2x + 2 = 0  dus  x = -1  dus  S = (-1, 0)
M = (-0.5, 1)
MS = √(0,52 + 12) = √1,25
OM = √(0,52 + 12) = √1,25
Dat is inderdaad gelijk, dus O ligt op de cirkel.

OF
OTS is een rechthoekige driehoek, en dat is de helft van een rechthoek
M is het midden van de cirkel en van de rechthoek.
De diagonalen van een rechthoek delen elkaar doormidden dus OM = OT = OS
Dus O ligt op de cirkel d.
       
8. a. (x - 8)2 + (y - 7)2 = 65
 y = 0  geeft  (x - 8)2 + 49 = 65  dus  x = 4  ∨  x = 12  dus  Q = (4, 0)
(PQ heeft helling  -3/2  dus  de raaklijn in R heeft helling  2/3 )

Lijn door M met helling  -3/2 :   y = -3/2x + 19
Snijden met de cirkel:   (x - 8)2 + (-3/2x + 12)2 = 65
x2 - 16x + 64 + 9/4x2 - 36x + 144 = 65
13/4x2 - 52x + 143 = 0
x = (52 ± Ö845)/6,5 = 8 - 2Ö5
y = 7 + 3Ö5
       
  b. midden PR = (1.765,  9.855)
afstand van dit punt tot M  is  Ö(6.2352 + 2.8552) 
       
9. a. het middelpunt is (4, 4)
dus j is de lijn  x = 4
snijpunt van k en j:  y = -2/3 ·4 + 8 = 51/3  dus  S =  (4, 51/3)
OS heeft rc  (51/3 / 4) = 4/3  dus is de lijn  y = 4/3x
snijpunt van m en   y = 8: 
4/3x = 8  dus  y = 6 
       
  b. P(12, 0)  en  Q(6, 8)
PQ heeft rc  (8 - 0)/(6 - 12) = -4/3
y = -4/3x + b geeft met  punt (12, 0) dat 0 = -4/3·12 + b dus b =  16
PQ is de lijn  y = -4/3x + 16
snijden met de cirkel:
(x - 4)2 + (-4/3x + 12)2 = 16
x2 - 8x + 16 + 25/9x2 - 32x + 144 = 16
25/9x2 - 40x +144 = 0
25x2 - 360x + 1296 = 0
de discriminant is  3602 - 4·25 ·1296 = 0
de discriminant is nul, dus de vergelijking heeft maar één oplossing.
PQ en de cirkel hebben dus maar één snijpunt dus PQ raakt de cirkel.
       
10. a. Het middelpunt is (12.5, 0) en de straal is 12,5
Dan is de vergelijking:  (x - 12.5)2 + y2 = 12,52
x2 - 25x + 156,25 + y2 = 156,25
x2 - 25x + y2 = 0
y2 = 25x - x2
q.e.d.
       
  b. y2 = 225 - x2  en die heeft straal  15
y2 = 25x - x2
Snijpunten:  225 - x2 = 25x - x2
25x = 225
x = 9
y = 12 Ú  y = -12  dus  Q = (9, -12)
OQ2 = 92 + (-12)2 = 225 dus OQ = 15 en dat is inderdaad de straal van de cirkel.

A = (25,0) dus  k heeft helling  (-12 - 0)/(9 - 25) = 3/4
OQ heeft helling  -12/9 = -4/3

Dat staat inderdaad loodrecht op elkaar want met elkaar vermenigvuldigd geeft het -1.