© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a. x2 + y2 - 6y + 1 = 0
x2 + y2 - 6y + 9 - 9 + 1 = 0
x2 + (y - 3)2 = 8
Het middelpunt is  (0, 3)
Een lijn loodrecht op rc -1 heeft rc 1
Lijn door M met rc 1:   y = x + 3  snijden met de cirkel:
x2 + (x + 3)2 - 6(x + 3) + 1 = 0
x2 + x2 + 6x + 9 - 6x - 18 + 1 = 0
2x2 - 8 = 0
x2 = 4
x = 2 ∨  x = -2
Dat geeft de raakpunten (2, 5) en (-2, 1)
Dat geeft de raaklijnen y = -x + 7  en  y = -x - 1
       
2, a. x2 - 2x  + y2 - 4y  = 36
x2 - 2x + 1 - 1 + y2 - 4y + 4 - 4 = 36
(x - 1)2 + (y - 2)2 = 41
middelpunt is M = (1, 2)
MR gaat door  (1,2) en (5, 7)
a = (7 - 2)/(5 - 1) = 5/4
De raaklijn staat daar loodrecht op, dus heeft helling -4/5 en gaat door (5,7)
7 = -4/5 • 5 + b geeft  b = 11 en de raaklijn is dan  y = -4/5x + 11
       
  b. x2 + y2 - 8y + 8 = 0
x2 + y2 - 8y + 16 - 16 + 8 = 0
x2 + (y - 4)2 = 8
middelpunt is  M(0, 4)
MR gaat door  (0, 4) en (-2, 2)
a = (4 - 2)/(0 - -2) = 1
De raaklijn staat daar loodrecht op en heeft helling -1 en gaat door (-2, 2)
2 = -1 • -2 + b geeft b = 0 en de raaklijn is dan  y = -x
       
3. MA staat loodrecht op l dus AM heeft helling  -4/3
A = (4, 3)  dus voor AM geldt   3 = -4/3 • 4 + b   en dat geeft b =  81/3
MA is de lijn  y = -4/3x + 81/3.
M ligt bij x = 5, dus  y = -4/3 • 5 + 81/3 = 5/3
M = (5, 5/3)  en  A = (4, 3)  dus  AM = √((5 - 4)2 + (5/3 - 3)2) = 5/3
De straal van de cirkel is gelijk aan de y-coördinaat van M dus c raakt de x-as
       
4. Lijn l heeft vergelijking  y = 0,5x
c is de cirkel met middelpunt  (-2, 6)  en straal √5.
Als l de cirkel raakt in punt R dan heeft de lijn MR helling -2
y = -2x + b door  (-2, 6)  geeft  b = 2  dus MR is de lijn  y = -2x + 2
De cirkel heeft vergelijking   (x + 2)2 + (y - 6)2 = 5
Snijden met MR:  (x + 2)2 + (-2x - 4)2 = 5
x2 + 4x + 4 + 4x2 + 16x + 16 = 5
5x2 + 20x + 15 = 0
x2 + 4x + 3 = 0
(x + 3)(x  + 1) = 0
x= -3  ∨  x = -1|
x = -3  geeft y = 8
x = -1  geeft  y = 4   
De lijn raakt de cirkel voor het eerst  in  (-1, 4)

De lijn gaat oorspronkelijk door  (-1, -0,5)
De lijn moet dus 4,5 omhoog geschoven worden.
       
5.

k is de lijn  y = 2 + 4x
Cirkel c heeft middelpunt  (4,5) en raakt lijn k
Bereken de afstand van M tot lijn k
Lijn door M loodrecht op k heeft helling  -0,25
y = -0,25x + b door  (4, 5)  geeft  b = 6
De loodrechte lijn heeft vergelijking   y = -0,25x + 6
Snijden met k:   -0,25x + 6 = 2 + 4x
Dat geeft snijpunt  S(16/17, 98/17)
MS2 = (16/17)2 + (98/17)2 = 9860/289 = 580/17
De vergelijking is dan   (x - 4)2 + (y - 6)2 = 580/17
 
       
6. MA = MB = 3 dus de straal van de cirkel is 3.
MA en MB staan loodrecht op de y-as (want het is een halve cirkel) dus M = (0, 3)
De cirkel heeft dan als vergelijking  x2 + (y - 3)2 = 9

MK is evenwijdig aan OP  dus heeft helling 1
MK is de lijn  y = x + 3
Snijden met de cirkel:

x2 + (x + 3 - 3)2 = 9
2x2 = 9
x2 = 4,5
xK = √4,5
Dan is  yK = 3 + √4,5
       
7. a. y = 2x + 2 invullen in de cirkelvergelijking:
x2 + (2x + 2)2 = 6x + 6(2x + 2) - 13
x2 + 4x2 + 8x + 4 = 6x + 12x + 12 - 13
5x2 - 10x + 5 = 0
x2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)2 = 0
x = 1
y =  2 • 1 + 2 = 4
Het raakpunt is  (1, 4) 
       
  b. Dan moet het middelpunt M even ver van S (en T) als van O afliggen
x = 0  geeft  y = 2 • 0 + 2 = 2  dus  T = (0, 2)
y = 0  geeft  2x + 2 = 0  dus  x = -1  dus  S = (-1, 0)
M = (-0.5, 1)
MS = √(0,52 + 12) = √1,25
OM = √(0,52 + 12) = √1,25
Dat is inderdaad gelijk, dus O ligt op de cirkel.

OF
OTS is een rechthoekige driehoek, en dat is de helft van een rechthoek
M is het midden van de cirkel en van de rechthoek.
De diagonalen van een rechthoek delen elkaar doormidden dus OM = OT = OS
Dus O ligt op de cirkel d.
       
8. a. (x - 8)2 + (y - 7)2 = 65
 y = 0  geeft  (x - 8)2 + 49 = 65  dus  x = 4  ∨  x = 12  dus  Q = (4, 0)
(PQ heeft helling  -3/2  dus  de raaklijn in R heeft helling  2/3 )

Lijn door M met helling  -3/2 :   y = -3/2x + 19
Snijden met de cirkel:   (x - 8)2 + (-3/2x + 12)2 = 65
x2 - 16x + 64 + 9/4x2 - 36x + 144 = 65
13/4x2 - 52x + 143 = 0
x = (52 ± Ö845)/6,5 = 8 - 2Ö5
y = 7 + 3Ö5
       
  b. midden PR = (1.765,  9.855)
afstand van dit punt tot M  is  Ö(6.2352 + 2.8552) 
       
9. a. het middelpunt is (4, 4)
dus j is de lijn  x = 4
snijpunt van k en j:  y = -2/3 ·4 + 8 = 51/3  dus  S =  (4, 51/3)
OS heeft rc  (51/3 / 4) = 4/3  dus is de lijn  y = 4/3x
snijpunt van m en   y = 8: 
4/3x = 8  dus  y = 6 
       
  b. P(12, 0)  en  Q(6, 8)
PQ heeft rc  (8 - 0)/(6 - 12) = -4/3
y = -4/3x + b geeft met  punt (12, 0) dat 0 = -4/3·12 + b dus b =  16
PQ is de lijn  y = -4/3x + 16
snijden met de cirkel:
(x - 4)2 + (-4/3x + 12)2 = 16
x2 - 8x + 16 + 25/9x2 - 32x + 144 = 16
25/9x2 - 40x +144 = 0
25x2 - 360x + 1296 = 0
de discriminant is  3602 - 4·25 ·1296 = 0
de discriminant is nul, dus de vergelijking heeft maar één oplossing.
PQ en de cirkel hebben dus maar één snijpunt dus PQ raakt de cirkel.