© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. De oppervlakte moet 1000/98,91 = 10,11 keer zo groot worden.
k2 = 10,11
k = √10,11 = 3,18
de zijden moeten dus 4 • 3,18 = 12,7 worden.
       
2. De inhoud van een klein bolletje is 1/500 van de inhoud van de grote bol.
Dus k3 = 1/500 = 0,002
dan is k = 0,0021/3 = 0,126
dan is k2 = 0,1262 = 0,0159
De oppervlakte van een klein bolletje is 0,0159ste deel van de grote.
Er zijn 500 zulke bolletjes, dus samen is de inhoud  500 • 0,0159 = 7,94 keer de oppervlakte van de grote bol.
       
3. Tussen de hoogste en de kleinste vaas is de inhoud met factor 0,6/1,6 = 0,375 verkleind
Dat is k3  dus  k = 0,3751/3 = 0,721

Tussen de kleinste en de middelste vaas is de oppervlakte vergroot met factor 250/180
Dat is k2 dus k = √(250/180) = 1,179

Tussen de hoogste en de middelste vaas geldt dan verkleiningsfactor 0,721 • 1,179 = 0,85
Dan is de hoogte van de middelste vaas 0,85 • 24 = 20,4 cm
       
4.      
       
5. a. Als 40% van de inhoud buiten de kubus ligt, dan is die kegel buiten de kubus een verkleining van de hele met een factor waarvoor geldt  k3= 0,4
dan is k = 0,737
Het deel binnen de kubus is dus 0,0,263 deel van de hele kegel en dat is 8
Dan heeft de hele kegel  hoogte  8/0,263 = 30,4
       
  b. Het deel buiten de kubus heeft hoogte 4 en is dus een verkleining van het totaal met factor 4/12 = 1/3
De oppervlakte heeft dan factor (1/3)2 = 1/9
Dus 1/9 deel van de oppervlakte van de kegelmantel bevindt zich buiten de kubus.
       
6. Het zand in de eerste tekening vormt een kegel die gelijkvormig is met de hele bovenste kegel met verkleiningsfactor 0,5
Voor de inhoud geldt dan een verkleiningsfactor 0,52 = 0,125 = 1/8
Het zand in de tweede tekening is dus 1/8 deel van de hele onderste kegel.
De ruimte boven het zand is dus 7/8 deel van de inhoud, en dat is weer een gelijkvormige kegel.
k3 = 1/8
k = (1/8)1/3 = 0,956
Dus de hoogte van het zand in 1 - 0,956 = 0,044
De hoogte is 0,044 • 10 = 0,44 cm.
       
7. Als je een beest groter maakt met factor k, dan gaat zijn inhoud met k3 en zijn oppervlakte met k2
Dat betekent dat zijn inhoud méér toeneemt dan zijn oppervlakte, ofwel, hij kan meer extra warmte produceren (door zijn grotere inhoud) dan hij extra verliest (door zijn grotere oppervlakte)
       
8. De vergrotingsfactor voor de lengte van de vissen is ongeveer 2,8. Dat kun je nameten door bijvoorbeeld van beide vissen de afstand van het punt van de neus tot het puntje van de staart te meten.
Voor de inhoud geeft dat factor 2,83 = 21,9
Dat klopt niet:  21,9 • 5,5 = 120,45 en dat is veel meer dan 27,5.
De kleine vis is (relatief) veel te klein getekend.

De vis moet inhoud 5,5/27,5 = 0,2 hebben dus k3 = 0,2
Dan is k = 0,21/3 = 0,58
De kleine vis zou 58% van de grote getekend moeten worden!!
       
9. de bovenste piramide is gelijkvormig met de hele piramide, en voor de inhoud geldt factor 0,5.
Dan is dus k3 = 0,5
k = (0,5)(1/3) = 0,79
De hoogte van de bovenste is 0,79 keer de hoogte van de hele piramide
Dus moet je dat vla aanbrengen op 0,21ste deel van de hoogte
       
10. De bovenste 4 stroken vormen een gelijkvormige driehoek met hoogte 4/5 van het totaal, dus verkleiningsfactor 0,8
De oppervlakte daarvan heeft dan verkleiningsfactor 0,82 = 0,64 en is dus  0,64 • 80 = 51,2

De bovenste 3 stroken vormen een gelijkvormige driehoek met hoogte 3/5 van het totaal, dus verkleiningsfactor 0,6
De oppervlakte daarvan heeft dan verkleiningsfactor 0,62 = 0,36 en is dus  0,36 • 80 = 28,8

De tweede strook van onderen heeft dan oppervlakte 51,2 - 28,8 = 22,4
       
11. a. Het bovenste deel van de piramide is een verkleining van het totaal met factor k = 0,5
De inhoud gaat dan met factor 0,53 = 0,125 = 1/8
de verhouding boven : onder is dus  1/8 :  7/8 = 1 : 7
       
  b. Als de plaats van de top verandert blijven de beide piramides gelijkvormig, dus blijft het verhaal van vraag a) gelden.
       
12.      
       
13.      
       
       
14. De piramide met het blauwe vlak als grondvlak heeft hoogte 4, dus is een verkleining van het totaal met factor 0,5
De inhoud is dan 0,53 = 0,125 van het totaal

De piramide met het rode vlak als grondvlak heeft hoogte 6, dus is een verkleining van het totaal met factor 0,75
De inhoud is dan 0,753 = 0,421875 van het totaal

Ertussen ligt dus 0,296875 van het geheel en dat is ongeveer 29,7%
       
15. a. Tussen het eerste en het vierde glas geldt verkleiningsfactor 0,83 = 0,512
Voor de inhouden geldt dan verkleiningsfactor 0,5123 = 0,134
Het vierde glas heeft inhoud 0,134 • 1 = 0,134 liter
       
  b. Van klein naar groot geldt steeds een vergrotingsfactor van 1/0,8 = 1,25
Van het kleinste naar het tweede glas geldt dan vergrotingsfactor 1,253 = 1,953
Voor de oppervlakte betekent dat vergrotingsfactor 1,9532 = 3,815
Het tweede glas heeft oppervlakte 30 • 3,815 = 114,4 cm2
       
  c. Bij elke stap gaat de inhoud met factor  0,134 (zie vraag a)
De inhoud moet verkleinen met factor 1000 (want 1 liter = 1000 cm3)
0,134x = 0,001
Voer in de GR in Y1 = 0,134^X
Kijk ij de tabel wanneer dat voor het eerst kleiner is dan 0,001
Dat is bij x = 6
Zes keer verkleinen betekent dat we bij het zevende glas zijn aangekomen.
       
16. Voor de lengtes geldt factor k = 0,9 dus voor de inhouden factor 0,93 = 0,729

Gele bal:  inhoud 50
Groene bal:  inhoud 50 • 0,729 = 36,45
Roze bal:  inhoud  36,45 • 0,729 = 26,572
Rode bal:  inhoud 26,572 • 0,729 = 19,371

Er zijn 16 ballen van elke kleur, dus totale inhoud:  16 • (50 + 36,45 + 26,572 + 19,371) =  2118 cm3
       
17. Als de afmetingen met 1,2 worden vermenigvuldigd, wordt de oppervlakte met 1,22 = 1,44 vermenigvuldigd.

eerste schaal:  oppervlakte 1
tweede schaal:  oppervlakte 1,44
derde schaal:  oppervlakte 1,44 • 1,44 = 2,07
vierde schaal: oppervlakte 2,07 • 1,44 = 2,99
vijfde schaal:  oppervlakte  2,99 • 1,44 = 4,30
zesde schaal:  oppervlakte 4,30 • 1,44 = 6,19

De totale oppervlakte is 17,99
De onderste 3 schalen beslaan dan  (3,99 + 4,30 + 6,19)/17,99 • 100% = 80,5%
       
18. De inhoud moet met factor 0,5 worden vermenigvuldigd.
Voor de lengtes geldt dan factor 0,51/3 = 0,79
Het bovenste deel is 0,79 van het totaal, dus het onderste 0,21ste deel.
Je moet op 21% vanaf de bodem doorsnijden
       
19. a. De echte Eiffeltoren is 30000 cm hoog en het model 10 cm
De echte Eiffeltoren is dus een vergroting met factor 3000 van het schaalmodel.
De oppervlakte gaat dan met factor 30002 = 9000000
De oppervlakte bij de echte Eiffeltoren is dan 4 • 9000000 = 36000000 cm2 en dat is  3600 m2
       
  b. Het kleine torentje is een verkleining met factor 1/3000
Het gewicht komt overeen met de inhoud, en die gaat dan met factor (1/3000)3
7000 ton is 7000000 kg.
Dus zal het gewicht van het model  7000000 • (1/3000)3 = 0,000259 kg zijn
Dat is 0,259 gram
       
20. a. Er zijn drie delen:
Halve cirkel met straal 9,0:  oppervlakte   1/2 • π • r2 = 1/2 • π • 81 = 127,23 cm2
Driehoekige achterkant:  oppervlakte   1/2 • b • h  =  1/2 • 18 • 30 = 270 cm2
Halve kegelmantel:  oppervlakte  1/2 • π • r • √(r2 + h2) =  1/2 • π • 9 • √(92 + 302) = 442,71 cm2
Samen geeft dat  127,23 + 270 + 442,71 = 839,94 cm2 
       
  b. De inhoud van de halve kegel is  1/2 • 1/3 • π • 92 • 30 = 1272,35 cm3
De potgrond vormt een halve kegel die hieraan gelijkvormig is, met inhoud 1000 cm3
De factor tussen deze twee inhouden is  1000/1272,35 = 0,786
De factor tussen de lengtes is dan  (0,786)1/3 = 0,923
De hoogte van de potgrondkegel is  30 • 0,923 = 27,68 cm
De potgrond komt dus  30 - 27,68 = 2,3 cm onder de rand. 
       
21. Neem de hele driehoek met zijden van 4, dan zijn de afmetingen als hiernaast.
Daar zijn veel gelijkvorige driehoeken te vinden.

opp. CNP is 1/4 • 32 = 8   (verkleining met factor 1/2) 
dus  opp. CNM = 4

opp. AKN = 1/4 • 32 = 8   (verkleining met factor 1/2)

opp.  MQB = (3/4)2 • 32 = 18  (verkleining met factor 3/4)
dus opp. MLB = 9

De driehoeken hebben samen oppervlakte  21, dus KLMN heeft oppervlakte 11.
       
22.

       
  BX = 4/5 BA dus de bovenste lege driehoek in de linkerfiguur is een verkleining van de hele met factor 0,8.
Dan heeft de oppervlakte ervan een verkleining met factor 0,64
De blauwe oppervlakte is dus 0,36 van het totaal.
Dus in de linkerfiguur is dat ook zo.
Als de oppervlakte factor 0,36 heeft, dan hebben de zijden factor 0,6
Dus BY = 0,6 • BA
Dus  BY : YA = 0,6 : 0,4 = 3 : 2
 
       
23. Verdeel de ruit in twee driehoeken met elk oppervlakte 9.
Zo'n driehoek is dus een vergroting van de kleine driehoek met factor 3 (Opp. factor 9)
De hoogte van de hele driehoek is dan 3 + 3 + 1 = 7 keer zo groot al;s de hoogte van het kleine driehoekje, dus de oppervlakte ervan is 49 keer zo groot, dus gelijk aan 49.

Voor de trapezia blijft 49 - 1 - 9 - 9 = 30 over,
Elk heeft dus oppervlakte 15.

       
24. Er staan eigenlijk drie cirkels.

De gele cirkel heeft straal drie keer de kleine, dus oppervlakte 9 keer de kleine.
De zwarte cirkel heeft straal 5 keer de kleine dus oppervlakte 25 keer de kleine
De zwarte ring heeft dan oppervlakte 25 - 9 = 16 keer de kleine cirkel.

       
25. Als de afmetingen nog 2/3 zijn, dan is de inhoud nog  (2/3)3 = 8/27
Dus in 19 uur is er 19/27 weggesmolten.
Elk uur snelt er dus 1/27 deel van het oorspronkelijke blok weg.
In totaal zal het 27 uur duren.
Daarvan zijn er al 19 om, dus het duurt nog 8 uur.
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)