© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     
1. a. √(x + 6) = x
x + 6 = x2
0 = x2 - x - 6
0 = (x - 3)(x + 2)
x = 3  ∨  x = -2
x = -2 vervalt, dus blijft over x = 3
       
  b. 2 - 3√(x) =  x - 16
-3√x = x - 18
9x = (x - 18)2 
9x = x2 - 36x + 324
x2 - 45x + 324 = 0
(x - 9)(x - 36) = 0
x = 9  ∨  x = 36
x = 36 vervalt, dus blijft over x = 9
       
  c. -5√(2x + 1) = -12
25(2x + 1) = 144
50x + 25 = 144
50x = 119
x = 119/50  en die voldoet
       
  d. x + 1 = 3 + √x
x - 2 = √x
(x - 2)2 = x
x2 - 4x + 4 = x
x2 - 5x + 4 = 0
(x - 4)(x - 1) = 0
x = 4 ∨ x = 1
x = 1 vervalt, dus blijft over x = 4
       
  e. √(6 - 5x) + x = 2
√(6 - 5x) = 2 - x
6 - 5x = (2 - x)2
6 - 5x = 4 - 4x + x2
0 = x2 + x - 2
0 = (x - 1)(x + 2)
x = 1 ∨ x = -2
beiden voldoen
       
  f. 2√x - x = -15
2√x = x - 15
4x = (x - 15)2
4x = x2 - 30x + 225
0 = x2 - 34x + 225
0 = (x - 9)(x- 25)
x = 9 ∨ x = 25
x = 9 vervalt dus blijft over x = 25
       
  g. √(4 - x) = x + 8
4 - x = (x + 8)2
4 - x = x2 + 16x + 64
0 = x2 + 17x + 60
0 = (x + 5)(x + 12)
x = -5 ∨ x = -12
x= -12 vervalt dus blijft over x = -5
       
  h. 2x + 2 = 2√x + x + 10
x - 8 = 2√x
(x - 8)2 = 4x
x2 - 16x + 64 = 4x
x2 - 20x + 64 = 0
(x - 4)(x - 16) = 0
x = 4 ∨ x = 16
x = 4 vervalt dus blijft over x = 16
       
  i. x - √x = 30
x - 30 = √x
(x - 30)2 = x
x2 - 60x + 900 = x
x2 - 61x + 900 = 0
(x - 36)(x - 25) = 0  (mag ook wel met de ABC-formule)
x = 36 ∨  x = 25
x = 25 vervalt, dus blijft over x = 36
       
  j. √(1 + √x) = 4
1 + √x = 16
√x = 15
x = 225 en die voldoet
       
2. a. Het getal 9 heeft ervoor gezorgd dat de grafiek van √x over een afstand 9 naar links is geschoven.
       
  b. 100 = 16 • √(t + 9)
10000 = 256(t + 9)
10000/256 = t + 9
t = 10000/256 - 9 = 30,06 maanden
       
  c. 2 jaar is 24 maanden, dus t = 24
L(24) = 16 • √(24 + 9) = 16√33 = 91,91 cm
dat is 91,91 - 69,6 = 22,31 cm langer en dat is  22,31/69,6 · 100% = 32% langer.
       
  d. Voor het boompje geldt  h = at + b  met  b = 60 (begingetal)
Op t = 24 is h = 69,6
Dat geeft  69,6 = 24a + 60   ⇒    24a = 9,6  ⇒  a = 0,4
Voor het boompje geldt dus h = 0,4t + 60
Gelijkstellen aan Laurens:  16 • √(t + 9) = 0,4t + 60
256(t + 9) = (0,4t + 60)2
256t + 2304 = 0,16t2 + 48t + 3600
0 = 0,16t2 - 208t + 1296
De ABC-formule geeft  t = 1294 ∨  t = 6,26  waarbij de oplossing 1294 vervalt.
Na 6,26 maanden zijn het boompje en Laurens even lang.
       
3. a. √(-2x + 12) = x - 1
-2x + 12 = (x - 1)2
-2x + 12 = x2 - 2x + 1
11 = x2
x = √11  ∨   x = -√11
De eerste is de gezochte oplossing:  x = √11 ≈ 3,32

f  bestaat als -2x + 12 ≥ 0  dus dat is voor  x ≤ 6
De grafiek van  f  ligt onder die van g voor  3.32 ≤ x ≤ 6
De oplossing is dus  [3.32, 6]
       
  b. Als boven T ligt, dan is de lengte van ST gelijk aan yS - yT
yS - yT = 2
√(-2x + 12) - (x - 1) = 2
√(-2x + 12) = 2 + x - 1
√(-2x + 12) = 1 +  x
-2x + 12 = (1 + x)2
-2x + 12 = 1 + 2x + x2
0 = x2 + 4x - 11
De ABC-formule geeft dan   x = 1,87   ∨   x = -5,87.
De gezochte oplossing is x = 1,87
       
4. Voor een snijpunt zou moeten gelden:  √(x2 − 6x) = x - 2
x2 - 6x = (x - 2)2
x2 - 6x = x2 - 4x + 4
-4 = 2x
x = -2
controleren:  √((-2)2 - 6 • -2) = √(4 + 12) = 4  en   -2 - 2 = -4
Dat is dus een valse wortel.
Er zijn dus geen oplossingen, dus de grafieken snijden elkaar niet.
       
5. a. y = 0  geeft  -7/4x + 7/2 = 0
-7x + 14 = 0
x = 2
invullen in f   y = √(-3 • 2 + 6) = 0 dus dat is inderdaad ook het snijpunt van de grafiek van f met de x-as.
       
  b. √(-3x + 6) = -7/4x + 7/2
vermenigvuldig met 4:   4√(-3x + 6) = -7x + 14
kwadrateren:  16(-3x + 6) = (-7x + 14)2
-48x + 96 = 49x2 - 196x + 196
0 = 49x2 - 148x + 100
ABC-formule:    x = (148 ±√2304)/98  ⇒  x =  2  of  x = 1,02
De tweede oplossing is   x = 1,02
       
6. a. 1 + 0,5Ö(3 - x) = 1,60
0,5 Ö(3 - x) = 0,60
 Ö(3 - x) = 1,20
3 - x = 1,44
x = 1,56
Voor 0 ≤ x < 1,56 is de glijbaan hoger dan 1,60 meter.
       
  b. 1 + 0,5Ö (3 - x) = 1 - 0,5 (x - 3)
(3 - x) = Ö(x - 3)
3 - x = x - 3
2x = 6   dus  x = 3   dus  h(3) = 1
       
  c. translatie 3 naar rechts
vermenigvuldiging x-as factor 0,5
spiegelen x -as
translatie 1 omhoog.
       
7. Noem de x-coördinaat van punt B gelijk aan p
Dan is de y-coördinaat gelijk aan   √(1 - 2p)
Voor een vierkant moeten die coördinaten gelijk zijn:
p = √(1 - 2p)
p2 = 1 - 2p
p2 + 2p - 1 = 0
ABC-formule:  p = (-2 ± √(4 - 4•1•-1))/2 =  (-2 ± √(8))/2 = 1 ±1/2√8 = -1±√2   (want √8 = 2√2)
De positieve x zal gelijk zijn aan -1 + √2
Het punt is dan  (-1 + √2, -1 + √2)      (immers  y = x)
       
8. 1 = √t + √(1 - t)
1 - √t = √(1 - t)
1 - 2√t + t = 1 - t
2√t = 2t
4t = 4t2
4t - 4t2 = 4t(1 - t) = 0  geeft  t = 0  of  t = 1 dus twee oplossingen

2 = √t + √(2 - t)
2 - √t = √(2 - t)
4 - 4√t + t = 2 - t
4√t = 2t + 2
16t = 4t2 +  8t + 4
t2 - 2t  + 1 = 0
Heeft één oplossing:  t = 1

3 = √t + √(3 - t)
3 - √t = √(3 - t)
9 - 6√t + t = 3 - t
6√t = 2t + 6
36t = 4t2 + 24t + 36
t2 - 3t  + 9 = 0
Heeft geen oplossingen

4 = √t + √(4 - t)
4 - √t = √(4 - t)
16 - 8√t + t = 4 - t
8√t = 2t + 12
64t = 4t2 + 48t + 144
t2 - 3t  + 36 = 0
Heeft geen oplossingen

5 = √t + √(5 - t)
5 - √t = √(5 - t)
25 - 10√t + t = 5 - t
10√t = 2t + 20
100t = 4t2 + 80t + 400
t2 - 5t  + 100 = 0
Heeft geen oplossingen
       
9. punt A:  y = 0
1/√(3x + 1) - 2 =  0
1/√(3x + 1) = 2
√(3x + 1) = 1/2
3x + 1 = 1/4
3x = -3/4
x = -1/4  dus  A = (-1/4, 0)

punt B:  x = 0 geeft  y = 1/√(3 • 0 + 1) - 2 = -1  dus  B = (0, -1)  

De afstand is dan (met Pythagoras):  √((1/4)2 + (1)2) = √(17/16) = 1/4√17 

       
10 a. 75 = 80 - 10√(t/50)
10√(t/50) = 5
√(t/50) = 0,5
t/50 = 0,25
t = 12,5 dagen.
       
  b. W = 60 - 5√(t/20)
5√(t/20) = 60 - W
√(t/20) = 12 - 0,2W
t/20 = (12 - 0,2W)2
t/20 = 144 - 4,8W + 0,04W2
t = 0,8W2 - 96W + 2880
a = 0,8 en  b = -96  en c = 2880