© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     
1. a.  1/4x2 + 3/4 = 2x2 + 6x + 5
x2  + 3 = 8x2 + 24x + 20
7x2 + 24x + 17 = 0
x = (-24 ± 10)/14
x = -1  Ú  x = -19/7

f '(x) = 1/2x dus  f '(-1) =  -1/2
g '(x) = 4x + 6  dus  g '(-1) = 2
-1/2 · 2 = -1 dus dat staat inderdaad loodrecht op elkaar.
       
  b.

-3x + 34 = 1 + 2Öx 
-3x + 33 = 2Öx 
9x2 - 198x + 1089  = 4x
9x2 - 202x + 1089 = 0
x = (202 ± 40)/18
x = 9  Ú  x = 268/9

f ' (x) =  -3
g '(x) = 1/Öx  dus  g '(9) = 1/3
1/3 · 3 = -1  dus dat staat inderdaad loodrecht op elkaar.
       
2. a. ax2 = 4/x   en   2ax · -4/x2  = -1
de eerste geeft a = 4/x3
invullen in de tweede:   -32/x4 = -1
x4 = 32  geeft  x = ±Ö32 = ±4Ö2
Dat geeft a = ± 1/64Ö2 
       
  b.  x2 + 8x = 1/x + p  en   (2x + 8) · -1/x2 = -1
De tweede geeft 2x + 8 = x2
x2 - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
x = 4  Ú  x = -2

x = 4 geeft  16 + 32 = 1/4 + p  dus  p = 47,75
x= -2  geeft  4 - 16 = 1/-2 + p  dus  p = -11,5
       
  c. px2 = 4/x²  en   2px · -8/x3 = -1

De eerste geeft  p = 4/x4
invullen in de tweede:  64/x6  = 1
x6 = 64  dus  x = ±2
Dat geeft  p = 1/4  
       
3. a. x = 0  geeft  punt  (0, 1)  en dat ligt op beide grafieken.

f '(0) = 3ax + 2bx - 2 = -2   en  g '(x) = 1/2  dus dat staat loodrecht op elkaar.
       
  b.  ax3 + bx2 - 2x + 1 = 1/2x + 1
geeft voor x = 4:   64a + 16b - 8 + 1 = 4 + 1  ofwel  64a + 16b = 12    ...... (1)

f '(4) = -2  geeft  3ax2 + 2bx- 2 = -2  dus  48a + 8b = 0   ...... (2)

de tweede geeft  b =-6a
invullen in de eerste:   64a - 96a = 12  geeft  a = -3/8
Dus  a = -3/8  en  b = -18/8  
       
  De lijn y = 1/2x + 1 snijdt de grafiek van  f(x) = ax3 + bx2 - 2x + 1 op twee plaatsen loodrecht, namelijk bij x = 0 en bij x = 4
       
4. a. f1(x) = x + √(1 - x)

Randpunt als 1 - x = 0  ⇒   x = 1 ⇒   y = 1  dus punt (1,1)  

Top als f ' = 0
1 - 1/2√(1 - x) = 0
2√(1 - x) = 1
√(1 - x) = 1/2
1 - x = 1/4
x =  3/4  en dan is  y = 3/4 + √1/4 = 3/4 + 1/2 = 5/4  dus top  (1/4, 5/4)

Snijpunt y-as:  x = 0  dus  y = 0 + √1 = 1  en punt  (0, 1)
       
  b. functies gelijk:  x + √(1 - px) = x + √(1 - x)
Daaruit volgt   √(1 - px) = √(1 - x)
1 - px = 1 - x
0 = x(p - 1)
x = 0 ∨  p = 1
Het gaat om de optie x = 0, want p = 1 geeft niet twee verschillende grafieken.

f ' · g' = -1:   (1 - p/2√(1 - px)) • (1 - 1/2√(1 - x)) = -1
x = 0 invullen:   (1 - p/2) • (1 - 1/2) = -1
1/2(1 - 1/2p) = -1
1 - 1/2p = -2
1/2p = 3
p = 6