© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 28 × 32
= (30 - 2)(30 + 2)
= 302 - 22
= 900 - 4
= 896
 
       
  b. 42 × 58
= (50 - 8)(50 + 8)
= 502 - 82
= 2500 - 64
= 2436
       
  c. 312 × 288
= (300 + 12)(300 -12)
= 3002 - 122
= 90000 - 144
= 89856
       
2. a. x4 - 16
= (x2 - 4)(x2 + 4)
= (x - 2)(x + 2)(x2 + 4)
       
  b. 25x2 - 9
= (5x)2 - 32
= (5x - 3)(5x + 3)
       
  c. x4 - 5x2 + 4
= (x2 - 4)(x2 - 1)
= (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)
       
3
  Bij de tweede stap is het merkwaardig product gebruikt, plus het feit dat (ÖD)2 = D
       
4. x/y + y/x - 2    haal hier  1/xy buiten haakjes.
= 1/xy • (x2 + y2 - 2xy)
= 1/xy • (x - y)2
xy is groter dan nul (want x en y zijn positief)
(x - y)2 is een kwadraat dus ook groter dan nul.
Samen is dit dus ook groter dan nul
       
5. p = x + 3,5 geeft:   (p - 1,5)(p - 0,5)(p + 0,5)(p + 1,5) = 15
Met het derde merkwaardige product geeft dat  (p2 - 2,25)(p2 - 0,25) = 15
maak de vergelijking weer symmetrisch door over te stappen op  q = p2 - 1,25
Dat geeft  (q - 1)(q + 1) = 15
q2 - 1 = 15
q2 = 16
q = 4  ∨   x = -4
p2 - 1,25 = 4  ∨   p2 - 1,25 = -4  maar dat geeft geen oplossing
p2 = 5,25
p = ±(5,25)
x = ±
(5,25) - 3,5
       
6. Gebruik steeds  x2 - 1 = (x - 1)(x + 1) en ontbind het resultaat direct in priemgetallen. Als het dan een kwadraat is moet elke priemfactor er een even aantal keer in voorkomen.
(22 - 1) = 1 • 3 = 3
(22 - 1)(32 - 1) = 3 • 2 • 4 = 23 • 3
... • (42 - 1) = 23 • 3 • 3 • 5 = 23 • 32 • 5
... • (52 - 1) = 23 • 32 • 5 • 4 • 6  =  26 • 33 • 5
... • (62 - 1) = 26 • 33 • 5 • 5 • 7 = 26 • 33 • 52 • 7
... • (72 - 1) = 26 • 33 • 52 • 7 • 6 • 8  = 210 • 34 • 52 • 7
... • (82 - 1) = 29 • 34 • 52 • 7 • 7 • 9 = 210 • 36 • 52 • 72

BINGO!
Dit is  (25 • 33 • 5 • 7)2 = 302402 = 914457600

       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)