|
|||||
| 1. | a. | die is gelijk aan 2 want daar loopt de grafiek naar toe. | |||
| b. | f(2) = 3: de dichte stip. | ||||
| c. | is oneindig groot. | ||||
| d. | bestaat niet: van de ene kant +∞, van de andere kant -∞ | ||||
| e. | bestaat niet: van de onderkant en van de bovenkant komen er verschillende getallen uit. | ||||
| f. | gewoon f(0) = -2 | ||||
| 2. | a. | die bestaat niet: van de onderkant bestaat de functie niet, van de bovenkant wordt het -¥ . | |||
| b. | gewoon invullen: er komt 2 uit (en de grafiek bestaat inderdaad voor x < 2). | ||||
| c. | de grafiek bestaat voor x > 1, de limiet is ∞ | ||||
| d. | voor x < 5 is
|3x - 15|
gelijk aan -3x + 15 (x - 5)/(-3x + 15) = (x - 5)/-3(x - 5) = -1/3 |
||||
| e. | van beide kanten gaat lnx naar -∞ | ||||
| f. | voor x > 1 bestaat de functie wel, en gaat hij naar ∞ | ||||
| 3. | onderzoek het gedrag
bij x = 1/4π. vanaf de onderkant wordt het sin2 1/4π = 1/2 vanaf de bovenkant wordt het 0,25π/π + 0,25 = 1/2 De functie is daarom continu |
||||
| 4. | Het punt om te onderzoeken is x = 1 want daar wordt de noemer nul. | ||||
 |
|||||
| de limiet bestaat dus
en is gelijk aan 2. Toch is de functie niet continu in 2, want f(2)
zelf bestaat niet. je kunt de functie continu maken door (2, 2) toe te voegen. |
|||||
| 5. | voor x < 6 is
de functie gelijk aan a • 62 +
4 • 6 = 36a + 24 voor x = 6 is de functie 63 - a • 6 = 216 - 6a 36a + 24 = 216 - 6a 42a = 192 a = 32/7 |
||||
| 6. | bij x = 3: | ||||
 |
|||||
| f(3) = a
• 32 + b • 3 + 2 = 9a + 3b + 2 voor continuïteit met gelden 9a + 3b + 2 = -6
bij x = 6 samen: |
|||||
| 7. | bij x = 5: voor x vanaf de bovenkant naar 5 gaat g naar 52 - 3 • 5 + p = 10 + p g(5) = 5q + 8 dus moet gelden 10 + p = 5q + 8 bij x = -5: voor x vanaf de onderkant naar -5 gaat g naar (-5)2 - 3 • -5 + p = 40 + p g(-5) = -5q + 8 dus moet gelden 5q + 8 = 10 + p en -5q + 8 = 40 + p trek de vergelijkingen van elkaar af 10q = -30 dus is q = -3 en dan is p = -17 |
||||
| 8. |
 |
||||
| dat kan ophefbaar
discontinu worden als x - a/2 gelijk
is aan x - 2 of aan x + 2. dat is zo als a = 4 of a = -4 a = -4 zou ophefbare discontinuïteit geven voor x = -2, maar daar geldt het andere functievoorschrift. conclusie: de enige mogelijkheid is a = 4 voor x van de onderkant naar 2 gaat de functie naar 4 • 2 - b = 8 - b voor x van de bovenkant naar 2 gaat de functie naar b(x + 2)/2 = 2b voor ophefbare discontinuïteit moet dat gelijk zijn: 8 - b = 2b geeft b = 22/3 De continumakende waarde is f(2) = 51/3 |
|||||
 |
|||||
| 9. | voor x < 0 is
het f(x) = x(-x - 1)/2
= -1/2x2
- 1/2x
voor x > 0 is het f(x) = x(x - 1)/2 = 1/2x2 - 1/2x zoals je hiernaast ziet gaan beide delen naar (0, 0) en dat is inderdaad ook f(0) de functie is daarom continu. |
|
|||
| 10. | voor x < 0 is
het f(x) = √(-x -
4) en die heeft een randpunt (-4, 0) voor x > 0 is het f(x) = √(x - 4) en die heeft een randpunt (4, 0) zoals je hiernaast ziet is de functie discontinu. |
|
|||
| 11. | voor x < 0 is |x| = -x, dus dat geeft: | ||||
 |
|||||
| voor x > 0 is |x| = -x, dus dat geeft: | |||||
 |
|||||
| deze limieten zijn niet gelijk, dus de gevraagde limiet van x naar 0 bestaat niet. | |||||
| 12. | a. | f(1) = -41/2a Als de functie linkscontinu in x = 1 moet zijn, dan moet de limiet van de onderkant naar 1 van f dus ook gelijk zijn aan -41/2a (x² - 2x)/(x - a) gaat naar -41/2a x = 1 invullen: -1/(1 - a) = -4,5a -1 = -4,5a(1 - a) 4,5a2 - 4,5a + 1 = 0 a = 2/3 of a = 1/3 |
|||
| b. | Als f continu
is in x = 1, dan moet hij daar behalve linkscontinu (zie
vraag a) ook rechtscontinu zijn Voor x van de bovenkant naar 1 gaat de functie naar ax2- 32/3 dus moet gelden ax2- 32/3 = -41/2a x = 1 geeft a - 32/3 = -41/2a dat geeft a = 2/3, en dat klopt inderdaad met het linkscontinu zijn in vraag a) |
||||
| c. | f vertoont
asymptotisch gedrag bij x = 1 als er daar door nul wordt gedeeld. Dat is zo als a = 1. in dat geval is de limiet van de onderkant naar 1 gelijk aan +∞ (er komt -1/(x - 1) en die noemer is negatief) |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
