© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. horizontaal:   als x heel groot wordt, dan wordt x - 5 dat ook, dus de breuk wordt nul.
y wordt dan  -4 = 0 = -4
de horizontale asymptoot is de lijn y = -4

verticaal:  delen door nul als x - 5 = 0 dus x = 5
de verticale asymptoot is de lijn x = 5
       
  b. horizontaal:  als x heel groot wordt, dan wordt de noemer ongeveer 5x en de teller ongeveer  2x
Dus wordt de hele breuk ongeveer  2x/5x = 2/5
de horizontale asymptoot is de lijn y = 2/5

verticaal:  delen door nul als 5x - 2 = 0  dus als x = 2/5
de verticale asymptoot is de lijn x = 2/5
       
  c. horizontaal:  als x heel groot wordt, wordt de noemer ongeveer x2 en de teller ongeveer 3x
Dus wordt de hele breuk  3x/x² = 3/x  en dat wordt nul als x heel groot wordt.
de horizontale asymptoot is de lijn y = 0 (de x-as)

verticaal:  delen door nul als x2 - 1 = 0  dus als x = 1  of x = -1
er zijn twee verticale asymptoten:  x = 1 en x = -1
       
  d. horizontaal:  als x heel groot wordt, wordt de noemer ongeveer -2x en de teller ongeveer 3x
Dus wordt de hele breuk ongeveer 3x/-2x = -3/2
de horizontale asymptoot is de lijn y = -3/2

verticaal:  delen door nul als 6 - 2x = 0  ofwel x = 3
de verticale asymptoot is de lijn x = 3
       
  e. horizontaal:
de eerste breuk is hetzelfde als 2/x2 en dat wordt nul als x heel groot wordt.
Van de tweede breuk wordt, als x heel groot wordt, de teller ongeveer x2 en de noemer 3x
die tweede breuk wordt dan x2/3x = x/3 en dat wordt heel groot als x heel groot wordt.
Dus als x heel groot wordt, wordt y het ook en er is geen horizontale asymptoot.

verticaal: delen door nul als x = 0
dus de verticale asymptoot is de lijn x = 0  (de y-as)
       
  f. horizontaal:  als x heel groot wordt dan wordt de teller van de breuk gelijk aan 4x2  en de noemer x2
de hele breuk wordt dan 4x2 /x2 = 4
de horizontale asymptoot is de lijn y = 4

verticaal:delen door nul als x2 + 3 = 0 maar dat is nooit zo. Geen verticale asymptoot dus.
       
  g. horizontaal:  als x heel groot wordt, dan wordt de teller gelijk aan x en de noemer gelijk aan √x
De hele breuk wordt dan x/√x = √x en dat wordt ook heel groot als x heel groot wordt.
Daarom is er geen horizontale asymptoot.

verticaal: delen door nul als √x - 2 = 0  ofwel x = 4
de verticale asymptoot is de lijn x = 4
       
  h. horizontaal:  als x heel groot wordt, dan wordt de teller ongeveer -4x2 en de noemer ongeveer x2
de hele breuk wordt dan ongeveer -4x2 / x2 = -4
de horizontale asymptoot is de lijn  y = -4

verticaal:  delen door nul als  x2 + 5x + 6 = 0
dat heeft geen oplossing (de discriminant is kleiner dan nul) dus geen verticale asymptoot.
       
2. horizontaal:
voor x heel groot wordt de teller gelijk aan  2x en de noemer -ax
de hele beuk wordt dan  2x/-ax = -2/a
de horizontale asymptoot is de lijn y = -2/a 

verticaal:
delen door nul als  8 - ax = 0   ofwel  x = 8/a
de verticale asymptoot is de lijn x = 8/a
       
3. a. Er zijn oneindig veel mogelijkheden. De eenvoudigste is misschien  y = 4 + 1/(x - 5)
       
  b. Er zijn oneindig veel mogelijkheden. De eenvoudigste is misschien  y = - 2 +  1/(x - 2)(x + 3)
       
4. a. 500 = (p - 12000)/(2p - 100)
500(2p - 100) = p - 12000
1000p - 50000 = p - 12000
999p = 38000
p = 38000/999 ≈ 38% 
       
  b. p = 50 is de verticale asymptoot van de grafiek van A(p)
Vlak bij de p = 50 loopt de grafiek dus heel sterk omhoog dus zullen erg veel extra folders nodig zijn om een lichte verhoging van p te krijgen.
p = 50 zélf kan zelfs nooit bereikt worden.
       
5. f(0) = -6/(-3) + 2 = 4  dus  A = (0, 4)

f(x) = 0  geeft   -6/(2x - 3) + 2 = 0
6/(2x - 3) = 2
2x - 3 = 3
2x = 6
x = 3  dus  B = (3, 0)

horizontale asymptoot:  vul voor x een heel groot getal in. Dat geeft  y = 2
verticale asymptoot:  delen door nul, dus 2x- 3 = 0  en dan is  x = 11/2
Dus S = (11/2, 2)

AS heeft helling  (4 - 2)/(0 - 1,5) = -4/3
BS heeft helling (2 - 0)/(1,5 - 3) = -4/3
De hellingen zijn gelijk dus de punten liggen WEL op één lijn.
       
6. f heeft verticale asymptoot als 4x - 6 = 0  dus  x = 11/2
Als je f omhoog schuift blijft de verticale asymptoot gelijk, en de horizontale asymptoot wordt  y= a
g heeft dus verticale asymptoot x = 11/2

De verticale asymptoot van de inverse van g is de horizontale asymptoot (y = a) van g gespiegeld. 
Dat is dus x = a. 
De afstand van a tot 11/2 moet gelijk zijn aan 4,  dus  a = 51/2  of  a = -21/2.
       
7. horizontale asymptoot:
als x naar -∞ gaat, dan gaan ex  en  e2x naar nul, en dan wordt de breuk gelijk aan -1000/-10 = 100
Dus y = 100 is horizontale asymptoot en  A = (0, 100)

verticale asymptoot
de noemer wordt nul als  ex - 10 = 0  dus  ex = 10  en dus x = ln10
De verticale asymptoot is de lijn x = ln10, dus B = (ln10, 100)

Dan zou C dus  (2ln10, 100) moeten zijn. en dat is  (ln100, 100)
Klopt dat?
Invullen:  f(ln100) 
 
  Het klopt, dus B is inderdaad het midden van AC.
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)