© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. bovenste - onderste = 6
p2 + 1 - 0,5p = 6
p2 - 0,5p - 5 = 0
De ABC-formule geeft dan p = 21/2  of  p = -2
Omdat p > 0 blijft over p = 21/2		  
       
  b. Als BC : AB = 3 : 17, dan is   BC = 3/20AC
Maar BC = 0,5q  en  AC = q2 + 1
Dus  0,5q = 3/20(q2 + 1)
10q = 3(q2 + 1)
3q2 - 10q + 3 = 0
De ABC-formule geeft   q = 3  of  q = 1/3		  
       
2. a. f(q) = g(q + 51/4)
6 + √q = q + 51/4
q  - √q - 3/4 = 0
ABC formule voor √q geeft   √q = 11/2  of  √q = -1/2 
Omdat een wortel positief is blijft over √q = 11/2  dus  q = 21/4.
Dan is  f(q) = p = q + 51/4 = 21/4 + 51/4 = 71/2.

f(q + 51/4) = g(q)
6 + √(q + 51/4) = q
√(q + 51/4) = q - 6
q + 51/4 = (q - 6)2
q + 51/4 = q2 - 12q + 36
q2 - 13q + 303/4 = 0
geeft q = 9,89116  of  q = 3,1088
p is dan gelijk aan g(q) = q.
omdat we hebben gekwadrateerd even controleren:
q = 9,89116  geeft  6 + √(15,14116) = 9,89116  en dat klopt.
q = 3,1088  geeft  6 + √(8,3588) = 3,1088 en dat klopt niet.
De oplossing is dus  p = 9,89116 		 
       
  b. AC : AB = 25 : 9 betekent dat AC = 25/34BC
Als BC = 34q  dan is  AC = 25q
Dus moet gelden:  f(25q) = g(34q)
6 + √(25q) = 34q
√(25q) = 34q - 6
25q = (34q - 6)2
25q = 1156q2 - 408q + 36
1156q2 - 433q + 36 = 0
De ABC formule levert dan   q = (433 ± √21025)/2312  =  (433 ± 145)/2312  =  1/4  of   36/289 
omdat we hebben gekwadrateerd even controleren:
q = 1/4 geeft  6 + √(25 · 1/4) = 34 · 1/4   en dat klopt
q = 36/289  geeft  6 + √(25 · 36/289) = 34 · 36/289  en dat klopt niet.
q = 1/4 geeft  BC = 25 · 1/4 = 81/2  dus is ook p = 81/2.
       
3. Een punt van de grafiek is  (x, 3√x)
Pythagoras levert dan   x2 + (3√x)2 = 202
x2 + 9x = 400
x2 + 9x - 400 = 0
(x - 16)(x + 25) = 0
x = 16  of  x = -25
Die laatste vervalt, want daar bestaat de grafiek van 3√x niet.
x = 16 geeft het punt  (16, 12)
       
4. Voor de lengte L van zo'n lijnstuk geldt:  L = (2x2 + 6x + 8) - (4x - x2 + 3)  = 2x2 + 6x + 8 - 4x + x2 - 3
L = 3x2 + 2x + 5
       
  a. 3x2 + 2x + 5 = 5,07
3x2 + 2x - 0,07 = 0
De ABC-formule geeft:  x = (-2 ± 2,2)/6  =  1/30  of  -17/10		  
       
  b. L is minimaal als de afgeleide ervan nul is.
L' = 6x + 2 = 0  geeft  x = -1/3.
Dan is de lengte  L(-1/3) =  42/3 

of:
De formule voor L is een kwadratische formule.
De top ligt bij -b/2a = -2/6 = -1/3
Dan is de lengte  L(-1/3) =  42/3 
       
  c. 2x2 + 6x + 8  = 6
2x2 + 6x + 2 = 0
x2 + 3x + 1 = 0
ABC-formule:  x =  (-3 ± √5)/2 = -11/2 ± 1/2√5

4x - x2 + 3 = 6
x2 - 4x + 3 = 0
(x - 3)(x - 1) = 0
x = 3  ∨  x = 1

Het dichtst bij elkaar liggen x = -11/2 + 1/2√5  en x = 1
De afstand daartussen is  1 - (-11/2 + 1/2√5 ) = 21/2 - 1/2√5		  
       
  d. P1(p) = P2(p + 1,7)
2p2 + 6p + 8 = 4(p + 1,7)  - ( p + 1,7) 2 + 3
2p2 + 6p + 8 = 4p + 6,8 - p2 - 3,4p - 2,89 + 3
3p2 + 5,4p + 1,09 = 0
De ABC-formule geeft  p = -0,2317  ∨  p = -1,5683
De laatste ligt echter links van de top van P1, dus is niet het "dichtstbijzijnde punt"
p = -0,2317  geeft de y-waarden  6,71.  Dus q = 6,71		  
       
5. ax = x2 
x2 - ax = 0
x(x - a) = 0
x = 0  ∨  x = a
De snijpunten zijn de punten  (0,0) en (a, a2)
OP = Ö(a2 + a4) = Ö90
a2 + a4 = 90
Noem a2 = b dan is a4 = b2 
b2 + b - 90 = 0
(b - 9)(b + 10) = 0
b = 9  ∨  b = -10
a2 = 9  ∨  a2 = -10
a = 3  ∨  a = -3.
       
6. Als AB : BC = 8 : 117  dan is  AB = 8/125 • AC
Als xA = 8q dan is  xB = 125q en dan zijn de bijbehorende y-waarden gelijk.
1/8q = (125q)2
1/8q = 15625q2 
1 = 125000q3
q3 = 0,000008
q = 0,02
Dan is xA = 0,16 en yA = 1/0,16 = 6,25 = p 
       
7. a. Mogelijkheid p1 (zie de figuur)
Als xP = 2a dan is xQ = 5a en zijn de bijbehorende y-waarden gelijk
Dus geldt 1 + √(2a + 8) = 0,5 • 5a
√(2a + 8) = 2,5a  -1
2a + 8 = (2,5a - 1)2
2a + 8 = 6,25a2 - 5a + 1
6,25a2 - 7a - 7 = 0
De ABC-formule geeft  a = 1,7573  ∨  a = -0,6373
Die laatste vervalt, want P moet wel rechts van de y-as liggen.
xQ = 5a = 8,7867  geeft  yQ = 4,39 = p

Mogelijkheid p2 (zie de figuur)
Als xP = -2a dan is  xQ = a  en zijn de bijbehorende functiewaarden gelijk.
Dus geldt:  1 + √(-2a + 8) = 0,5a
√(-2a + 8) = 0,5a - 1
-2a + 8 = (0,5a - 1)2
-2a + 8 = 0,25a2 - a + 1
0,25a2 + a - 7 = 0
De ABC-formule geeft  a = 3,6568  ∨  a = -7,6569
Die laatste vervalt want punt Q ligt rechts van de y-as.
xQ = 3,6568   geeft  yQ= 1,83 = p  
       
  b. eerst maar f(q) = g(q + 10)
1 + √(q + 8) = 0,5(q + 10
√(q + 8) = 0,5q + 4
q + 8 = (0,5q + 4)2 = 0,25q2 + 4q + 16
0,25q2 + 3q + 8 = 0
q2 + 12q + 32 = 0
(q + 4)(q + 8) = 0
q = -4  ∨  q = -8
q = -4 geeft  p = f(-4) = 1 + √(-4 + 8) = 3
q = -8 geeft  p = f(-8) = 1 + √(-8 + 8) = 1

Dan nog  g(q) = f(q + 10)
0,5q = 1 + √(q + 10 + 8)
0,5q - 1= √(q + 18)
(0,5q - 1)2  = q + 18
0,25q2 - 2q - 17 = 0
ABC-formule geeft  q = 13,17  ∨  q = -5,17
Die laatste vervalt, want de grafiek van f moet rechts van die van g liggen
q = 13,17  geeft  g(q) = 0,5q = 6,58 = p
       
8. f(p) = f(p + 2,4)
4√p - p = 4√(p + 2,4) - (p + 2,4)
4√p - p = 4√(p + 2,4) - p - 2,4
4√p = 4√(p + 2,4) - 2,4
√p = √(p + 2,4) - 0,6
kwadrateren:  p = p + 2,4 - 2√(p + 2,4) • 0,6 + 0,36
1,2 • √(p + 2,4) = 2,76
√(p + 2,4) = 2,3
p + 2,4 = 5,29
p = 2,89
Dan is q = f(p) =  4√2,89 - 2,89 = 3,91
       
9. Noem xB = 2p
Omdat AB : BC = 2 : 3 is dan xC = 5p
Dan moet gelden  f(2p) = f(5p)
(2p)2 - 4(2p) + 5 = (5p2) - 4(5p) + 5
4p2 - 8p + 5 = 25p2 - 20p + 5
0 = 21p2 - 12p
0 = p(21p - 12)
p = 0  ∨   p = 12/21 
p = 12/21 is de interessante oplossing (p = 0 geeft xB = xC = 0) 
Dan is  q = f(2p) = p2 - 4p + 5  = 85/49

Er is nog een tweede mogelijkheid....
Als q > 5 dan ligt B aan de linkerkant van de y-as en C aan de rechterkant..
Stel dat  xB = -2p  dan is xA = 3p  (vanwege de 2 : 3)
Dan moet gelden f(-2p) = f(3p)
(-2p)2 - 4(-2p) + 5 = (3p)2 - 4(3p) + 5
4p2 + 8p + 5 = 9p2 - 12p + 5
0 = 5p2 - 20p
0 = 5p(p - 4)
p = 0 ∨  p = 4
p = 4   is de interessante oplossing (p = 0 geeft xB = xC = 0) 
Dan is q =  f(3p) = f(12) =  122  - 4 • 12 + 5 = 101
       
10. sinx = sin(x + 2)
x = x + 2  ∨  x = π - (x + 2)
0 = 2   ∨  2x = π + 2
vervalt  ∨  x = 1/2π + 1
Dat geeft sinx = sin(1/2π + 1) = 0,540
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)